1、浙江科技学院学报，第 卷第期，年月 ，：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）通信作者：陶祥兴（），男，浙江省台州人，教授，博士，主要从事金融统计等研究。：。混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价研究徐彪，陶祥兴（浙江科技学院 理学院，杭州 ）摘要：【目的】为了体现可转债标的资产长记忆性和跳跃性的特点，解决资产收益率增量的不平稳性，提出混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价模型。【方法】首先令可转债标的资产的价格变化符合混合次分数布朗运动跳扩散环境；然后利用随机分析理论和随机偏微分方程方法，推导出混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价模型，并进一步给出定价模型的参数估计方式；最后运
2、用遗传算法估计参数，选取国内可转债市场的实际数据进行实证分析，结合不同定价模型做对比分析。【结果】本模型对实际价格的拟合效果比传统的布莱克斯科尔斯模型均方误差平均减少 ；通过对遗传算法得到的参数进行定价的拟合效果，比使用历史数据得到的参数进行定价的拟合效果，均方误差平均减少约 。【结论】本模型能在实际市场上为可转债的首日及每日定价决策提供较可靠的理论依据。关键词：混合次分数布朗运动；可转债；跳扩散；遗传算法中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，）：，；，；，：；可转债是中国金融市场上一种十分灵活的金融衍生工具，债券持有人拥有“可以在规定时间内把所持有的债券转换为股票”的权利，可转债下有保
3、底上不封顶的特点使其广受投资者的喜爱，因其融资成本低和股权稀释慢也越来越受上市公司的青睐。它非常依赖利率和股票等多种标的，具有很强的路径依赖性；同时赋予参与方多种权利，如赎回权、回售权等。可转债集债权性、股权性和期权性于一身。自 年中国证券监督管理委员会颁布再融资新规后，政策上的支持让可转债的发行数量和发行规模较之前出现了爆发式增长，成为金融市场不可分割的一部分，因此对其精准定价有重要的现实意义。在 世纪 年代，等开创出的布莱克 斯科尔斯（，）模型为金融市场衍生产品的定价奠定了良好的基础。早期大多数研究者认为可转债的定价应基于公司价值定价模型，因为该类方法能够将可转债很好地与信用风险模型相结合
4、。基于公司价值单个因素，首次使用 模型得到了可转债的解析解。等引入随机利率模型，把定价过程转化为双因素模型，但结果表明利率随机化对价格变动的影响并不显著。基于公司价值的定价方法其结果与实际差距较大，主要原因是公司价值很难准确获得。为了克服这种结构式定价的缺点，许多研究者将可转债的定价基于公司股价，如 等提出了基于股价的单因子模型，并进一步扩展成基于股价和利率的双因子模型。随后人们通过大量实证研究发现，信用风险也是可转债定价的必要因素，其中 等提出的带有信用风险的模型受到了广泛的关注与运用。采用数理模型方法解决可转债定价问题其优点是放宽了定价假设条件，使定价假设不再那么严格，能获得与实际价格相符
5、的定价，但存在计算量大的弊端。目前针对中国可转债定价的主要方法有分解定价法、偏微分方程定价法、树模型法、蒙特卡洛模拟法 等，如果计算的时间间隔设置得足够小，则以上定价方法皆趋于偏微分方程定价法，这些定价方法在原理上是相似的。资产定价模型的关键之一是对波动率的优化，大多研究者采用时间序列中的模型拟合，此类方法虽然能较好地刻画出波动的聚集性，但体现不出实际资产价格还存在着自相似性和增量的不平稳性。为了更好地拟合资产的实际价格，解决“微笑波动率”现象，等 首次提出了次分数布朗运动，它是修正后的分数布朗运动，不仅保持了分数布朗运动的自相似性、长记忆性和赫尔德连续性，还保持了二阶矩增量的不平稳性。发现次
6、分数布朗运动的退化速度快于分数布朗运动，分别以 和 的速度退化，更加符合资产的长记忆性；和 等 分别对次分数布朗运动的极限和线性乘子的非参数估计问题进行了深入的研究。等 把次分数布朗运动和布朗运动进行线性组合，得到了混合次分数的环境。实际金融市场中，标的资产价格不仅会随机连续波动，还会因为重大事件的影响产生不连续的波动，即股价会发生“跳跃”，进而影响期权的定价，因此如何模拟标的资产价格变动的跳跃情况也是研究者一直在探索的课题 。综观已有研究鲜有涉及混合次分数布朗运动跳扩散环境下的可转债定价，故本研究综合考虑可转债标的资产的长记忆性和跳跃性的特点，提出该定价策略，以解决资产收益率不平稳的增量性，
7、并结合国内实际可转债市场进行实证分析。预备知识设次分数布朗运动，是 （赫斯特）指数为（，）的连续高斯过程，其期望为零，协方差为 （），。第期徐彪，等：混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价研究当时，为标准的布朗运动，记为。为了将次分数布朗运动推广到混合次分数布朗运动模型，假设标准布朗运动与次分数布朗运动相互独立，混合次分数布朗运动为（，）。（）式（）中：、分别为标准布朗运动和次分数布朗运动的波动率。混合次分数布朗运动主要的性质包括自相似性和长相依性，表现如下：）对于任意常数，有（），=（），；）当时，若相关性（）（），（）（），那么（）。混合次分数布朗运动的协方差为（）（），。从广义上看，可
8、转债本身就有普通债券的属性，又由于转股条款的存在，进一步增加了可转债的价值，可以看作内嵌了一个美式看涨期权；但在有效市场假设下，美式看涨期权对应的标的股票在期限内没有进行分红，就可以把它当成欧式看涨期权。此外，当股价触发到赎回价格并满足赎回条件时，有部分为了投资者转股而发行可转债的上市公司不会提前赎回可转债，因为他们会为了自身财务状况选择不再支付债券后续的利息和本金；但对业绩优良的上市公司而言，为了不稀释自身股权，则会选择在合适的时间进行转股。当股价触发回售价格并满足回售条件时，理性投资者大多会将可转债按规定价格回售给上市公司；考虑到可转债的低利息、可转股，还能向下修正转股价格，可转债续存期间
9、违约的概率非常小，可将违约风险忽略不计，所以本研究只考虑可转债的赎回条款和回售条款。则有。（）式（）中：为债券部分价值；为欧式期权价格；为条款的期权价格。定价模型假设混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债的标的股票价格满足如下的随机微分方程：。（）式（）中：为该股票价格的平均收益率；为股票价格跳跃幅度；为相对应的泊松补偿过程，是强度为的泊松过程，且、与两两独立。数理推导 债券部分价值债券部分价值可以通过可转债有效期内每期的现金流贴现之和得到，即各期的应付利息和最后一期的应付债券贴现到当前时点的价值之和，具体公式如下：（）（）。（）式（）中：为可转换债券每年应支付的利息；为可转债的本金；为可转债剩
10、余持有年限；为市场无风险利率；为可转债发行总年限。混合次分数布朗运动跳扩散条件下的期权价值假设：市场不存在交易成本与税收，市场不存在可供套利的交易策略，可转债的发行和转股对股价的影响可以忽略，公司不发放股利和利息，期权部分价值作为欧式期权进行计算，可转债的转换发生时间为债券到期时刻。浙江科技学院学报第 卷定理假设标的资产满足式（），那么可转债期权部分满足如下偏微分方程：（）；（，）（，）。证明：利用对冲原理构建一个投资组合，在无套利条件下，该组合由一份期权和份原生资产构成，则在时刻该投资组合的价值为；且在（，）时段内，该投资组合的变化为。由伊藤公式及式（）得（）（）（）（）（）（）（）。因此得
11、 （）（）。（）由对冲原理可知，投资组合是无风险的，式（）中取，且有如下方程成立：（）。（）联立式（）和式（），化简后得 （）。（）在到期日时刻，有（，）（，），从而定理得证。定理假设标的资产价格满足式（），固定敲定价格为，到期日为的欧式看涨期权在，时间的价值（，）为（，）（）（）（）。（）式（）中：（）（）（）（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。证明：由定理可知，式（）中期权（，）为满足一维抛物方程的 问题，因此可以寻找合适的变量进行代换，转化为热方程 问题，从而快速求解。采用如下变量替换：，（，）（，）。经偏导计算和变量代换，由式（）可得 （）（）。
12、（）为求式（）的解，再通过如下变量代换化简方程：（），（），（），（，）（）（，）。其中（）、（）、（）为待定函数。第期徐彪，等：混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价研究通过计算得到：（）（）（）（），（），（）。代入式（）化简之后得（）（）（）（）。假设（），（），（）。由边界条件（）（）（）可知：（）（）（）（）；（）（）（）（）；（）。从而有如下结果：。在到期日时，期权收益为（，）（，）。接下来把条件偏微分方程转化为常微分方程定解问题，得到：（，）（）（）（）（）。（）对于，令，有 （）（）。对于，令，有 （）（）。所以式（）可简化为（，）（）（）。那么（，）（）（）。也即（，）（）
13、（）。（）式（）中：（）（）（）（）；（）（）（）（）。浙江科技学院学报第 卷再把 ，（，）（，）代入式（），求出的解析解即定理。定理得证。在式（）中，当、时，式（）变为标准布朗运动跳扩散环境下的欧式期权定价公式；当、时，式（）为次分数布朗运动环境下欧式期权定价公式；当、时，式（）为经典 公式。可转债条款期权价值模型回售条款规定当该公司股价连续一段时间小于转股价某一比例时，可以给投资者一种权利，让投资者以发行公告中规定的回售价格卖出手里持有的可转债，从而保护投资者的利益，因此回售条款可以看作债券持有人拥有的一项看跌期权，令可转债回售条款的执行价格为 ，可求得回售条款的期权价格 ，其中 一般为
14、，回售条款期权价格与 节中式（）的计算方法相同，回售条款的价格为 （，）（）（）（）。（）式（）中：（）（）（）（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）。赎回条款规定当该公司股价连续一段时间大于转股价某一比例时，可以给发行公司一种权利，让它以发行公告中规定的赎回价格赎回还在流通的所有可转债，对发行方而言不用稀释股权也无须再还本付息，从而保护发行方的利益，对投资者而言此时行权也可获得较高收益，因此是最优的操作策略。赎回条款是一项对发行方而言的看涨期权。令可转债赎回条款的执行价格为 ，可求得赎回条款的期权价格 ，其中 一般为.，计算公式为 （，）（）（）（）。（）式（）中：（）（）（）（）（）（
15、）（）（）（）；（）（）（）（）。混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价模型假设某上市公司在时发行了可转换公司债券。用（）表示该上市公司的股票价格，用（）表示该可转债的价格，那么可转债价格的组成为（）（）（）（）（）（）（）.（）.（）。（）实证分析 数据来源可转债数据来源于同花顺、万德资讯和可转换公司债券上市公告书，包含了目前发行流通的 多只可转债，根据可转债发行条款是否规范完整、融资规模和发行数量、可转债及其标的股票在样本区间有无停牌情况、市场价格数据是否充足、财务情况、信用评级、债券期限等特征，以烽火转债、太阳转债、伊力转债、未来转债为例进行实证分析，可转债主要相关条款内容见表。第期徐
16、彪，等：混合次分数布朗运动跳扩散环境下可转债定价研究表可转债主要相关条款内容 可转债名称信用评级债券期限债券利率转股价元回售价元赎回价元烽火转债 逐年为、太阳转债 逐年为、伊力转债 逐年为、未来转债 逐年为、参数估计 基于遗传算法的参数估计本研究采用混合次分数布朗运动跳扩散环境刻画可转债价格变化的行为模式，而如何有效地估计方程参数将是本定价模型应用于实践的重要环节。传统的极大似然法和模拟退火算法在实际应用中都容易陷入局部极值而丢失最优解，且计算时间较长。本研究采用具有并行搜索和不失最优解的遗传算法来寻找模型中的参数，该算法的原理是先随机产生一系列初始解，然后构造解的适应值，在每一次迭代中用适应值来测量问题解的优劣，淘汰不满足条件的解，通过选择、交叉和变异运算形成下一轮迭代的解集，经过一定次数的迭代后，算法会收敛于全局最优解。本研究设计的遗传算法主要步骤有编码、适应度函数、选择、交叉与变异。）编码。为了简化编码和译码环节，本研究染色体采用实值编码。例如，有一个四维向量，其中每个维度代表一个参数，不同的四维向量代表不同编码串，每个编码串就是一组理想参数。以.，.，.，.为例，表示本文模型中