1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20220226;修回日期:20220429作者简介:杨师杰(1966)，男，湖南资兴人，北京师范大学物理学系教授，博士，主要从事凝聚态物理理论研究工作惠更斯原理与空间维度杨师杰(北京师范大学 物理学系，广东 珠海519087)摘要:本文根据无界空间波动方程的解析解，从数学上探讨波动学的惠更斯原理，揭示该原理仅对于一维和三维空间成立，而对于二维空间不成立我们能够通过声音传递信号，并不是像初看起来那么理所当然，它决定于惠更斯原理适用于三维空间关键词:波的传播;惠更斯原理
2、;空间维度中图分类号:O 411文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0004-04【DOI】1016854/jcnki1000-0712220107惠更斯原理是指波面上的每一点都可视作子波源，子波的波速与频率等于原来的波速和频率，子波波面的包络构成次级波的波面 惠更斯原理可以解释光的直线传播、反射、折射等，甚至还可解释晶体的双折射现象运用惠更斯原理可以证明光密介质比光疏介质中光波的传播速度小，这个结论与牛顿的微粒说结论正好相反，在历史上曾为确立光的波动观念起过积极作用菲涅耳在惠更斯原理的基础上，提出子波之间相干叠加，由此发展成为惠更斯菲涅耳原理 本文的目标是从数学上探讨
3、这个原理究竟是否成立，以及在何种程度上它们是合理的通过直接求解不同维度空间的波动方程，我们揭示惠更斯原理仅适用于一维和三维空间，对于二维空间则不适用1 我们还讨论了这个结论的可能后果1三维空间波的传播一维无限长的波动方程的解称作达朗贝尔公式:u=f1(x+at)+f2(xat)其中f1、f2是与初始状态有关的待定函数它表明初始的波分解为 2 个独立的子波，分别沿正负两个方向匀速传播，且波形始终保持不变 其物理意义是任何一点的运动，只由此前 t 时刻、距离为 at 的点的运动状态决定，因此一维空间波的传播符合惠更斯原理下面考察机械波在三维无界空间的传播 波动方程为utta23u=0，u|t=0=
4、(r)，ut|t=0=(r)将方程和初始条件都作三维傅里叶变换，得到U(t)+k2a2U(t)=0U|t=0=(k)，U|t=0=(k)其中 k=|k|，解得像函数:U(k，t)=(k)cos kat+(k)kasin kat=t(k)kasin kat+(k)kasin kat先对第 2 项作三维傅里叶逆变换，有2 F1(k)kasin kat=(k)kasin kateikrdk1dk2dk3=1(2)3(r)eikrdr1kasin kateikrdk1dk2dk3=1(2)3a0kdk0d20d(r)eik rr cos sin katsin d r=第 12 期杨师杰:惠更斯原理与空
5、间维度512a(2)20 r()rreikrr+at()eikrr at()dkdr=14a(r)|rr|(|rr|+at)(|rr|at)dr=14aSr(r)atds最后一步的第 1 项由于|rr|和 at 均大于 0，所以狄拉克 函数积分为零像函数的第一项具有和第 2项一样的形式，所以原函数为u(r，t)=14atSr(r)atds+14aSr(r)atds该式被称作泊松公式，它表明波的振幅随时间或者传播距离成反比关系，这是符合能量守恒定律的三维波动方程解中的Sr表示距离场点 r 为 at的所有点 r构成的球面，如图 1(a)所示，处于原点的灰色区域为初始波包，因此公式中的有效积分范围是
6、处于灰色区域内的球面部分该面积分的物理意义是，r 点的运动是此前 t 时刻距离为 at 的所有球面点 r运动的叠加，由于积分中出现了狄拉克函数，在 r点的更早或更晚的运动都不会对 r 点的运动产生任何影响，这恰好就是惠更斯原理的实质由此得出结论:波在三维空间传播时也符合惠更斯原理图 1(a)三维波传播的球面区域与初始三维波形的交叠;(b)二维波传播的圆形区域与初始二维波形的交叠2二维空间波的传播对于二维无界空间中的波动问题:utta22u=0，u|t=0=(r)，ut|t=0=(r)同样采用傅里叶变换法，有U(k，t)=(k)cos kat+(k)kasin kat=t(k)kasin kat
7、+(k)kasin kat先对第 2 项作傅里叶逆变换，并利用贝塞尔函数的积分性质，得2 F1(k)kasin kat=(k)kasin kateikrdk1dk2=1(2)2a0dk20d(r)eik rr cos sin katdr=12a0(r)J0k rr()sin katdkdr=12aCr(r)at|rr|dr最后一步利用了积分公式3:0J(x)sin xdx=cos222+22()，所以二维波动方程的解为u(r，t)=12atCr(r)(at)2|rr|2dxdy+12aCr(r)(at)2|rr|2dxdy其中Cr为x2+y2at 的圆内区域，如图 1(b)所示处于原点的灰色区
8、域为初始波包，公式的有效积分区域是圆域Cr与灰色区域的重叠部分该式与三维积分有一个根本区别，就是 r 点的运动不仅与此前 t时刻距离为 at 的所有球面点 r运动有关，而且与 r点的更早或更晚的运动有关，似乎每个子波源产生的影响持续不断，余音袅袅这种时间上的持续影响违背惠更斯原理的实质，据此我们得出结论:波在二维空间传播不符合惠更斯原理3数值结果图 2 形象地展示了二维和三维空间中波的传播假设初始时原点处有一个高斯型波包，经过一段时间后，二者表观上相似，但实际上，三维空间的波前内部已经完全恢复到平衡位置，而二维空间各处始终存在偏离平衡位置的位移为了更清楚地显示这一特征，我们在图 3 中描绘了不
9、同时刻一、二、三维波在 x 轴上的径向分布图中可见三维和一维空间中波的运动特征一致，波6大学物理第 41 卷图 2二维(a)和三维(b)波传播的比较(b)只显示了二维剖面，其内部质点已回复到平衡位置的传播符合惠更斯原理，而二维空间中波的传播更像是扩散过程，因此在某些教科书中用来示例惠更斯原理的水面波 图 4(b)，其传播规律恰恰不符合惠更斯原理图 3机械波在一维、二维、三维空间的传播(图中显示一维和三维情形，中心部分质点回复到平衡位置，但二维的质点始终偏离平衡位置)图 4(a)二维子波的传播;(b)实际的水表面波传播图4讨论我们可以在球坐标系中分析三维和一维波传播的相似之处考虑球对称波的径向部
10、分2:utta2u=02ur2+2rur1a22ut2=0该方程与一维波动方程形式上很相像，可化为2(ru)t2a22(ru)r2=0参照一维波动方程的达朗贝尔公式，其解可表示为u(r，t)=1rf1(rat)+1rf2(r+at)两项分别表示球面发散波和会聚波的径向部分，所以满足惠更斯原理作为对比，二维波动方程的径向部分有显著的区别，即2(ru)t2a22(ru)r2=a24 r2ru它看上去更像是一个非齐次方程，右边与 u(r，t)有关的项表明，空间中任何点的运动会一直影响全部波场的运动，这显然不符合惠更斯原理事实上，凡是偶数维空间的波动方程都会有同样的问题1，似乎子波源产生的波不只是向前
11、传播，还会向后传播，如图 4(a)所示，并且余音袅袅因此建立在朴素直观上的惠更斯原理，在二维及偶数维空间中并不成立当波在一维或三维空间中传播时，信号是清晰可辨和前后互不干扰的而在二维的世界里说话，耳朵听到的将是前后混杂且持续不断的嗡嗡声，根本不可能听到美妙的歌声信号在空间中传播的保真性并不像人们想象的那样，是理所当然的就其内在和谐性而言，三维世界在各种维度空间中是非常独特的，我们很幸运地生活在其中本文结论同样适用于电磁波在无界空间的传播参考文献:1 柯朗，D希尔伯特数学物理方法 M 北京:科学出版社，2018 2 杨师杰数学物理 M 北京:清华大学出版社，2020 3Gradshteyn I
12、S，yzhik I M Table of integrals，series，and products M 北京:世界图书出版公司，2008第 12 期杨师杰:惠更斯原理与空间维度7On the Huygens principle and spatial dimensionsYANG Shi-jie(Department of Physics，Beijing Normal University，Zhuhai，Guangdong 519087，China)Abstract:In this paper we address the Huygens principle proposed in opti
13、cs from the analytical solutions of thewave equation It is revealed that the Huygens principle is correct only in one or three dimensional space whilefailed in two dimensional space It is not certain that we can receive acoustic signals through air，it depends on theeffectiveness of Huygens principle
14、 in the three dimensional spaceKey words:wave propagation;Huygens principle;spatial dimension(上接 3 页)从图 4 中可以看到，未修正的最概然近似结果与严格解是比较接近的，但是经过少粒子修正的最概然近似结果却与严格解偏差较大，这与人们初始的预期是相背离的因为进行少粒子修正的目的就是让计算结果与严格解更加贴合由此同意文献 5 的判断，在计算最概然分布时使用少粒子修正是不必要的5结论一般教材中推导最概然分布时采取的数学处理存在数学上的漏洞，在粒子数较少时是无法自圆其说的于是很多研究人员尝试使用精度更高的
15、斯特令公式重新推导，给出少粒子修正以弥补这一漏洞本文计算了一维谐振子势阱中的理想玻色气体，发现不使用少粒子修正的最概然分布计算得到的基态布居数与严格解偏差较小，而使用少粒子数修正后的最概然近似计算得到的结果与严格解偏差甚大于是我们认为，推导最概然分布时使用少粒子修正是不必要的参考文献:1 汪志诚热力学统计物理 M 4 版北京:高等教育出版社，2008:181-187 2 包景东热力学与统计物理简明教程 M 2 版北京:高等教育出版社，2021:102-135 3 KAKOIN S evision of Boltzmann statistics for a finitenumber of par
16、ticlesJ American Journal of Physics，2009，77(1):48-53 4 陈凌蛟，侯吉旋玻耳兹曼分布的严格推导 J大学物理，2015，34(3):60-65 5 Liu QH Asynchronous finite differences in most probabledistribution with finite numbers of particles J Annals ofPhysics，2022，441:168884 6 GOSSMANN S，HOLTHAUS M Microcanonical fluctu-ations of a Bose system s ground state occupation number J Phys ev E，1996，54:34957Hou J X，Yang J Bose gases in one dimensionalharmonic trap J Pramana，2016，87:60-62 8 Hou J X Microcanonical condensate fluctuations in one