1、49 技术创新函数的奇偶性是一个非常特殊的性质，并在很多实际问题中有着非常广泛的应用.本文主要通过具体例子介绍函数奇偶的这一特性在函数的定积分、曲线积分、重积分计算当中的应用.在高等院校中,高等数学作为各理工科本科生必修的基础课程,在各个领域都有着广泛的应用.而积分计算作为高等数学中的重难点,其重要性是不言而喻的.而函数是高等数学中尤其是微积分的主要研究对象,在学习高等数学的过程中我们不难发现函数具有很多特性,比如单调性、奇偶性、有界性、周期性等,这些特性充分体现了函数的几何美.其中函数奇偶性将数学美体现的淋漓尽致,如心形函数（）不失为数学专业学子委婉表达自己内心爱慕之情的方法.并且利用函数的
2、特性可以解决和简化很多计算和应用中的问题,其中将函数奇偶性运用在积分求解的方法中就是一个非常有代表性的举措,也是非常重要且便利的工具.因此,探究函数奇偶性在积分计算中的运用就相当有必要.在某些较为麻烦的积分计算和证明的问题中,使用常规的方法去处理可能会力不从心,且其中有些积分计算方法灵活,不易直观求解,甚至会经过比较巧思的方法才能解决,这也就暴露出常规解决问题方法的弊端,令积分计算很是头疼.因此我们就可以采用针对性的解法,尝试去寻找这个问题的特殊之处,比如积分区间的对称性、被积函数奇偶性等,使积分计算的难度可能会得到大幅度的降低.再利用奇偶性的相关定理、结论来求解,更能达到简化计算过程的目的,
3、使计算过程得到相应的简化,从另一个角度来说也就提升了求解问题的速度,更加靠近解决问题的最佳方案.1 函数的奇偶性定义 设函数 在集合 上有定义，如果对于 ，有 成立，则称函数 为定义域 上的偶函数；如果对于 ，有 成立，则称 为定义域 上的奇函数.由已学的数学知识知道，奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于 轴对称.所以根据函数的奇偶性就可以通过函数定义域一侧的图形来做出完整的图形.例如描绘简单的反比例函数 的图像，函数的定义域是 ，由于该函数为定义域上的一个奇函数，只要描绘出区间 上或区间 上的图像，就可以根据奇函数的图像对称性得到另一个区间上的函数图像；再比方说作函数 的图像，函数
4、的定义域是 ，由于该函数是该定义域内的一个偶函数，只要去描绘出区间 上或 上的图像，亦可以根据偶函数图像的对称性得到另外一个区间上的函数图像了.另外，奇函数在其对称区间 和 上具有相同的单调性，即已知函数是对称区间上的奇函数，它在区间 上是增函数（减函数），则在区间 上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间 和 上具有相反的单调性，即已知函数是对称区间上的偶函数且在区间 上是增函数（减函数），则在区间 上也是减函数（增函数）.2 函数奇偶性在积分计算中的应用2.1 函数奇偶性在定积分中的应用假设函数 在区间 上有定义且可积，若函数 为区间上的奇函数，则 ；若函数 为区间 上的偶函数，则 .这
5、种计算方法必须要满足被积函数在对称区间上可积，然后再利用函数的奇偶性求解积分问题.甚至在有些定积分的计算中看似复杂或无从下手，此时却可以通过考虑被积函数的奇偶性或把被积函数分解出具有奇偶性的函数来达到简化积分计算的目的.例1 计算 .解函数奇偶性在积分计算中的应用初探乐山师范学院数理学院 刘艳芳502023 年 第 2 期因函数 是积分区间 上奇函数，而函数 为 和 也有相似结论.若积分区域 是关于原点对称的，其中 是原点一侧的部为积分区间 上偶函数，所以 .故分，则 =2.例2 计算 .解 由于该题中积分区间为 ，关于原点对称，而被例6 计算二重积分 ，其中区域 是由积函数 又是关于 的奇函
6、数，故原式=0.所围成的三角形区域.解 积分区域 为 上平面区域，且关于 轴对称，被积函数满足 ，计算结果为0（将二重积分转化 例3 计算 .成二次积分计算结果一致）.例7 计算 .解解 为对于 或 的一个一元偏偶函数，那么由上面因函数 是奇函数，而函数 是偶函数，所以得出的结论（1）、（2）可知 ,原式 .或者通过以上例题，一些看似无从下手的题，通过利用被积函数奇偶这一特性，很简单的就能算出结果，且减小了繁琐计算量.2.2 函数奇偶性在曲线积分中的应用除此以外，积分区域 ，其中 和若平面内光滑曲线 ，与 关于 轴对 都是关于原点对称的区域，而且称且方向相反，函数 在 上是关于连续函数，那么：
7、，再根据结论（1）、（2）有：（1）若 是关于 的奇函数，则 ,（2）若 是关于 的偶函数，则 .其中 代表原走向.例4 计算 ，其中 为螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧.于是，只要计算在 上的积分即可.解 由 关于 是偶函数，关于 轴对称，故例5 计算 ，其中 为 与 的交线.例8 计算积分 由 围成.解 积分区域 关于原点对称，又 关于 均为奇解 由 关于 是奇函数，关于原点对函数，所以称，故2.3 函数奇偶性在重积分中的应用设函数 在平面xoy上的有界区域 上是连续的，且区域 关于 轴是对称，那么有如下结论：（1）若函数满足 ，则 ，其中 为 轴上方的平面区域；3 结束语（2）若函数满
8、足 ，则 通过上面具体的实例阐述，我们看到了函数的奇偶性可以很 .巧妙的简化积分中的计算.不仅如此，函数的奇偶性（下转43页）对于积分区域 上被积函数关于 轴对称时，积分区域既关于 轴对称，又关于轴对称（如下图所示），被积函数被积函数又是一个关于 的二元全偶函数43 技术创新统武术背景文化可以修身养性，通过武术课学到了很多平时学（3）在学校活动中多给予这些学生舞台展示的机会，教师不到的技能和知识，开拓了眼界，教师上课的时候有激情，课通过攻防讲解和示范进行套路教学，并且在灌输教学过程中培堂生动有趣等。而不满意的学生则认为课堂枯燥无趣，教师重养学生终身体育锻炼的意识。复的讲解示范，大量重复的练习，
9、没有实际的示范演练，武术氛围没有产生良好的作用，缺乏课外的武术拓展活动，学生缺少展示的机会等原因导致了学生学习武术积极性的下降。1 邱相,王国志.当代武术教育改革的几点思考J.体育学刊,2006,13(2):76-78.2 李伟.对武术理论体系的构建及教学组合的研究J.苏州大学学报,2003,04.3 李年铁,李平,等.广东部分高校学生参与武术运动现状与表5 高新区小学学生选修武术课对武术教学目标认识（N=192）影响因素的调查研究J.湖北师范大学学报(自然科学版),2005,01.表5可以看出，高新区小学学生选修武术课对武术教学目标4 毛香銮.高校武术教学现状及对策J.平原大学学报,2008
10、,认识不同，学习套路和基本功的有68人，占比35.4%。锻炼身体25(3):145-147.提高身体素质有56人，占比29.2%。培养意志品质，坚韧坚强性5 吴靖龙.高等职业院校武术教育现状分析J.山西科技,2008格的有45人，占比23.4%。了解武术文化内涵有23人，占比(2):62-63.12%。对于学生武术的学习程度结果不同，有的学生可以很熟练6 关文博.西安市高校武术选项课开展现状及对策研宄D.西安:陕西师范大学,2012的掌握动作，有的学生之后几乎忘记，说明学生没有在课下进7 徐媛.宁波市普通高校大学生选修武术课内部动机的调查行武术练习，没有重视武术的学习，把武术当作课程学习之后与
11、分析D.扬州:扬州大学,2012就结束了。学生没有树立的终身体育锻炼意识，教师要引导让8 巩伟.西安市普通高校武术社团课教学现状及发展对策研学生主动学习武术热爱武术，要让学生自主的去练习，才可以宄D.西安:西安体育学院,2013把武术更好的发扬。9 胡平清,武术教育在学校体育中的功能研宄D.北京:北京2 结论与建议体育大学,20132.1 结论10 谢志民,张建.浅析影响大学生学习武术的因素J.搏击（1）武术社团课比较重技能、轻理论，没有良好的理论知(武术科学),2014,04:44-46识作为铺垫，使得武术教学内容相对单一。其简单重复的课堂11 刘琪.论学校体育教学中的终身体育意识培养J.青
12、少年教学满足不了学生的需求。因此，需要专业的教师设置相应的体育,2016(08):51-52136教材。12 梁放.吉林省普通高校大学生武术学习动力调节系统调（2）学生学习武术技能积极性不高，没有长期保持自主学查和策略研宄D.长春:东北师范大学,2010习的意识。13 张学文,杨波,许思毛.中小学武术开展现状与对策研究J.2.2 建议搏击武术科学,2009,6(1):64-67.（1）高新区小学学生通过一定的武术理论课的学习对武术14 乔蓓云.对中小学武术课余训练的对策研究J.邯郸学院项目的文化背景，使得学生对所学习项目有文化基础，更好的学报,2010,20(3):84-87.激发学生学习兴趣
13、及学习热情。作者简介：申一男（1996），男，河南郑州市人，在读（2）组织专业教师对教材的创新，不断进行教学探究，编博士，助教，研究方向：武术教学与训练。写出相对应的教材和有趣的教法，满足不用阶段学生的学习需 要。【参考文献】（上接50页）在重积分、曲线积分、曲面积分以及其他的很3 刘玉链,付沛东.数学分析讲义(上)M.北京:高等数学教育出版社,1996.多问题中都有着不容小觑的作用.由此我们由函数的奇偶性联4 林源渠.高等数学复习指导语与典型例题分析M.机械工业想到对称性，发现了数学中的很多美好，从而激起了我们学出版社,2002.好高等数学的兴趣和热情.也更能把数学中抽象难懂的知识生5 华东
14、师范大学数学系编.数学分析(第四版上册)M.北京:高动形象地阐述出来，带来很多的直观感受.在解决问题的时等教育出版社,2010,6.候，尽量避免复杂的推导，观察问题本身，可能会比一味硬6 吴昌泽,范元玮.浅谈函数奇偶性在积分计算中的应用J.北算节约更多的时间，这在生活中也会是一门深究的学问.京建筑工程学院学报,2001(4):35-37.7 王宪杰.对称区域上二重积分和三重积分的计算J.牡丹江师【参考文献】范学院学报,2007(4):65-66.1 吉米多维奇.数学分析习题集题解(六)M.济南:山东科作者简介：刘艳芳（1980），女，河南开封市人，硕士，学技术出版社,2002:105-144.讲师，主要研究方向：金融数学，数学规划.2 同济大学数学系.高等数学:上册(6版)M.北京:高等教育出版社,2007.