1、 电视技术 第 46 卷第 12 期(总第 565 期)89PARTS&DESIGN器件与设计文献引用格式：邱孝龙.基于 ADMM 的分块压缩感知图像重构方法 J.电视技术，2022，46（12）：89-92，96.QIU X L.Block compressed sensing image reconstruction based on ADMMJ.Video Engineering，2022，46（12）：89-92，96.中图分类号：TP311.5 文献标识码：A DOI：10.16280/j.videoe.2022.12.019基于 ADMM 的分块压缩感知图像重构方法邱孝龙（西安石油
2、大学 理学院，陕西 西安 710065）摘要：在分块压缩感知（Block Compressed Sensing，BCS）领域，经典的重构算法可以有效重构无噪声图像信号，但是图像在采集、传输过程中会受到噪声的攻击，导致图像的重构质量较差。为了在抑制噪声的同时保护原始图像信号，将 BCS 的平滑投影 Landweber 法与 BM3D 算法相结合，运用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）进行求解，提出了一种基于ADMM的分块压缩感知重构算法。通过峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）来验证所
3、提算法的有效性。实验结果表明，相比与经典的分块压缩感知 BCS 重构方法，所提方法具有较好的重构效果，在分块压缩感知重构领域有一定的用途。关键词：图像去噪；交替方向乘子法（ADMM）；峰值信噪比（PSNR）；分块压缩感知Block Compressed Sensing Image Reconstruction Based on ADMMQIU Xiaolong(School of Science,Xian Shiyou University,Xian 710065,China)Abstract:In the field of Block Compressed Sensing(BCS),clas
4、sical reconstruction algorithms can effectively reconstruct noise-free image signals,but the images are attacked by noise during acquisition and transmission,resulting in poor reconstruction quality of images.In order to protect the original image signal while suppressing noise,this paper combines t
5、he BCS_SPL algorithm with the BM3D algorithm and applies the Alternating Direction Multiplier Method(ADMM)to solve the problem,and proposes an ADMM-based block compressed sensing reconstruction algorithm.The effectiveness of the proposed algorithm is verified by Peak Signal-to-Noise Ratio(PSNR).The
6、experimental results show that the proposed method has better reconstruction effect compared with the classical BCS reconstruction method,and has some uses in the field of block compressed sensing reconstruction.Keywords:image denoising;Alternating Direction Multiplier Method(ADMM);Peak Signal-to-No
7、ise Ratio(PSNR);block compressed sensing0 引 言日常生活中，图像信号已经成为信息的主要载体。因此，对图像进行处理的技术受到广大学者的关注，也被广泛地应用于超分辨成像1、医学成像2等领域。传统的信号采样方法需满足香农采样定律3。该定律要求采样频率必须大于信号最高带宽频率的两倍才能有效重构信号，这给高频信号的采集和传输带来一定麻烦。为了解决上述问题，DONOHO4提出了压缩感知理论，并指出在低于奈奎斯特采样定理要求的采样频率去获取信号，也能有效地重构信号。该理论一经提出，便被广泛地应用于模式识别5、鬼成像计算6等领域。由于传统恢复方法需要较大的矩阵来进行采
8、样和重构，这对计算资源造成了严重的消耗。为了解决大尺度图像的实时传输和重构问题，2007 年，GAN L 提出了分块压缩感知（Block Compressed Sensing，BCS）7，该方法对每一个图像块进行采样，大大降低计算复杂度。2009 年，MUN 等人对原始图像信号进行分块处理，结合平滑投影 Landweber 的方法，提出了BCS_SPL 方法8。该方法以较小的测量矩阵对信号进行测量，并有效地重构原始信号。由于信号在采集过程中会受到噪声污染的问题，因此一些经典的去噪方法被提出，如非局90电视技术 第 46 卷第 12 期(总第 565 期)PARTS&DESIGN器件与设计部中值
9、滤波9、鲁棒主成分分析（RPCA）10以及BM3D11等。其中，BM3D 是一种经典的去噪方法，可以有效地保存图像中的细节信息。针对传统分块压缩感知方法存在的抗噪能力差的问题，本文结合BCS_SPL 方法和 BM3D 去噪方法的联合重构模型，运用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）来重构含有噪声的图像信号，提出了基于 ADMM 的分块压缩感知图像重构方法。1 基本原理1.1 压缩感知理论模型压缩感知理论指出，当原始信号具有稀疏性，可以对该信号进行观测采样，然后运用重构算法从较少的测量值中重构信号，其具体模型如下所示：y=x（
10、1）式中：xRN是原始信号，yRm是通过观测矩阵得到的观测信号。如果满足(1-k)|x|22|x|22(1+k)|x|22且 0k1，则称满足 RIP 条件12，此时原始信号可以通过最小化l0范数的方法来求解原始信号，具体表达式为0mins.t.=xyx（2）式中：|表示非零元素的个数，精确恢复k阶稀疏信号，需要满足lgNmO kk=。1.2 分块压缩感知理论模型分块 CS 理论是通过将图像进行分割处理，得到大小为BB的不重叠图像块，然后选取一个观测矩阵将高维信号映射到一个低维空间进行观测，通过重构算法来求解原始信号。对于N维原始信号()11T1111,jnjjnllj lN lNjxxxxx
11、x+=xxxx，其中第j个子图像块可以被表示为xj，同时运用长度的索引集=l1,l2,ln，其中lj=BB，关于分块压缩感知的模型可以被表达为T12,BBBn=yxxx（3）式 中：B是 观 测 矩 阵，yj=Bxj，1 jn，N=nj=1lj。特别地，当n=1 的时候，该模型可以表示压缩感知模型。此处给出一个定义：对于一个给定的k阶稀疏的原始信号xRN，当存在一个参数 0k1 满足(1-k)|xj|22|Bxj|22(1+k)|xj|22且 0k1，就说B满足k阶的分块 RIP 条件13。对于整张图像的测量矩阵而言，可以用块对角矩阵表示：BBB=（4）2 相关工作2.1 平滑投影 Landw
12、eber（SPL）重构方法平滑投影 Landweber（SPL）法是一种有效的重构原始信号的方法。其首先对需要重构的图像x(0)进行初始化，最终的结果可由下面式子进行运算：()()()()()T1/kkkiy=+xxx（5）()()()()()()(),2log0.6745,0kkkkkmedianThresholdA =其他xxxxx（6）式中：是T的最大特征值，是用于控制收敛的常数，A是关于转换系数的常数。从式（6）可以看出，初值的预估往往决定重构质量的好坏，因此本文采用x(0)=Ty作为初始值。2.2 BM3D 去噪方法BM3D 是一种经典的去噪方法。该方法的实现过程主要分为基础估计和最
13、终估计两个部分。这两个部分都有图像块分割、三维协同滤波及聚集这三个步骤。两者的不同之处在于三维协同滤波。其中，基础估计的三维协同滤波是硬阈值滤波，最终估计的三维协同滤波是维纳滤波。此外，对比基础估计，最终估计可以还原更多的细节信息。设原始信号为x，y是观测信号，是均值为 0，方差为2的高斯噪声，其采样过程如下所示：y=x+（7）首先将图像分成大小为BB的大小，寻找块xj与块xj之间的相似性进行匹配，选取欧式距离阈值作为匹配标准，含噪声块之间的欧式距离可以表示为()22noise 2,=jjjjdBxxxx（8）式中：B2是估计阶段的图像块大小，xj和xj是 电视技术 第 46 卷第 12 期(
14、总第 565 期)91PARTS&DESIGN器件与设计计算距离的图像块，|22是l2范数。由于噪声比较大或者图像块较小的时候会导致误差较大，从而导致分组错误，因此需要加一个前置的硬阈值滤波对图像块进行处理，此时欧式距离为()()()22 ht 2D ht-2D2,=T()T()jjjjdBxxxx（9）式中：(Tht-2D()是前置硬阈值滤波操作，通过设定欧式距离阈值ht把相似的块聚集在一起，则每个相似块组的集合为Sht=xj,xjx|d(xj,xj)ht。然后对聚集而成的相似块组进行三维矩阵的线性变换，通过硬阈值滤波或者维纳滤波来减少噪声，最后通过三维逆变换得到矩阵中图像块的估计值。由于在
15、图像分块的的过程中，当步长小于分块大小时会出现像素块的重叠部分，因此对于某个像素可能会存在多个估计，需要进行加权平均。2.3 基于 ADMM 的分块压缩感知像重构方法本文所提算法将图像分成大小均匀的子块，采用维纳滤波进行平滑处理，降低图像的块效应。然后将 BCS_SPL 求解方法与 BM3D 去噪模型相结合，利用ADMM 方法来重构图像。该算法具体实现步骤如下。Algorithm1：BM3D denoiser based on ADMM(0)TT1(0)(0)(0)BBB 2(1)()B x22()()()2(1)Step1:(),Step2:1,2,1Step3:argmin2()2Step
16、4:31,max()StjjjjjTTjjjTTTjjjjTjjTitersBM D+=+=0 xyvxuforxyxxvuyvy()(1)()(1)(1)(1)ep5:Step6:Step7:.TTTTjjjjTjj+=uuxvendxx在上述算法中，通过构造式子x(0)j=TB(BTB)-1yj 来对子信号进行初始化处理，然后采用 ADMM 算法对子信号进行去噪重构，将原有的损失函数项进行正则化约束，并将其中的一个正则项设置为 BM3D去噪算子。该方法抑制了噪声对重构效果的影响，同时通过 ADMM 来构造新的拉格朗日损失函数，保证算法恢复的有效性。下面将算法 1 中的模型称为ADMM-BM3D。接下来，本文将要在大尺度图像分块重构的过程中引入 ADMM-BM3D 模型，从而实现含噪声图像的有效重构。Algorithm2：ADMM denoiser for BCS_SPL()2T 12(0)T B()()()()T()Step1:,Step2:0,1,2,Step3:Winner()Step4:(1/)Step5:jBjBBBn BjjkkjjkkkjjBijjkitersy=+?y