1、关于初中数学教材中描述性定义的教学关于初中数学教材中描述性定义的教学思考思考 张向东 数学概念是数学知识体系的基石，是理解并掌握数学理论和方法的基础。初中数学教材常用非严格的语言（范例+描述）对数学概念进行简洁、形象、定性的陈述，我们称之为描述性定义。如二元一次方程组的概念，湘教版是这样定义的：像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。从数学科学的角度讲，每个概念的表述应该是严密、精确的，但从数学教育的角度来看，对一些概念给出严格的定义是没必要的，有时也是不可能的，如二次根式、函数的定义。如何权衡二者的关系，苏
2、步青先生有一句名言：中小学教材可以混而不错。不错是大前提，关注的是大方向、本质；混是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。因此，教师们不妨从以下两个方面来理解描述性定义的适当性。1.从当前的教育需求看描述性定义够用。2.从学生的认知现实看描述性定义好用。数学概念具有抽象概括性、严密的逻辑关系以及运动、变化、联系的思想等特性，而初中学生抽象概括水平不高、逻辑思维能力偏低、易受思维定式束缚。综合考虑数学概念的特性和学生的可接受性，对一些概念给出描述性的定义，学生可以通过阅读通俗易懂、简洁明了的语言，结合范例和描述，从具象到抽象，快速领悟概念的实质。总之，描述性定义从
3、数学教育的立场上尊重了学生的认知现实与学习需求，虽然从数学科学的立场上有失严谨性，但整体上有利于发展学生的数学素养。因此在初中阶段对一些概念仅给出描述性定义是适当的，也是必需的。课程改革从“一纲一本”到“一标多本”，教材观也随之发生变化。在统一教材的时代，教科书是教学活动的唯一载体，教科书在教学过程中是神圣的、不可替代的。在“一标多本”的时代，教科书不再是包办一切的登山缆车，而是学生攀登科学高峰的助力工具；教材不再是固化定型的统一模具，而是培养人才的重要载体之一；所选用的教材不再是“圣经”，书中的结论也不再是“圣旨”。教学实践中，不少教师认为概念的定义应该是百密而无一疏。经常有教师对教材中诸如
4、二（三）元一次方程组、相似等概念的描述性定义提出异议，甚至有教师囿于描述性定义的文字内容进行错误判断。教师只有更新教材观，了解描述性定义的特点，才能消除因描述性定义的严谨性不够带来的教学困扰。对于概念的描述性定义的教学，教师既要立足当前，关注概念在当下教学的地位与作用，满足学生现时数学学习的需求；又要着眼于长远，关注概念的本源与在学生学习历程中的流向，有利于学生后续在数学上的发展。引导学生区分运用不同形式的定义。初中数学教材中，既有描述性定义界定的概念，又有通过归纳类比或抽象给出严格定义的概念，如平行四边形的定义。严格定义中给出了充要条件，其逆命题也是成立的。描述性定义因严谨性不够，要防止学生
5、死搬硬套定义；对于接受能力强的学生提出有关延伸性问题，教师要站在教材编写的角度与更高的知识高度对学生进行说明，激励学生通过下一阶段的学习提升认识。引导学生全面准确地认识描述性定义。教师自身要站在数学科学的高度把握描述性定义的本质，在课堂教学中引导学生由表及里，由局部到整体形成全面准确的认识。首先要结合范例和描述了解概念的实质，再根据概念的形成或同化过程细细品味其未尽之意。如人教版关于一元二次方程是这样定义的：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。上述定義并未涉及一元二次方程的判断前提。在概念的形成过程中，教材（含章节前言
6、）呈现了 3 个实例，得到了 3 个方程 x2+2x-4=0、x2-75x+350=0、x2-x=56。以上 3 个方程都是经过整理（移项、合并同类项）后所成。结合概念的形成过程，就会知道判断一个方程是否为一元二次方程的前提是“方程经过整理后”。引导学生逐步深入地认识描述性定义。对于描述性定义，随着学习的深入，学生对所刻画的数学概念的认识由单一到全面、从模糊到精确。在教学中，可以通过后续相关概念的学习，从概念的比较与联系中矫正错误、深化认识。首先要引导学生抓住同类概念的共同属性。如湘教版关于相似是这样定义的：“直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。”定义本身只是描述这样的
7、图形是相似的，但学生易错认为相似的图形一定是大小不等的。在后续相似三角形的学习中，学生就会认识到全等形也是相似形，这样上下结合能帮助学生抓住相似形的本质属性，防止以偏概全。其次要引导学生对概念的逻辑关系进行分析。如在学习矩形、正方形后，对二者的关系进行辨析，完善小学关于长方形的认识，正确认识长方形的长与宽的大小关系。恰当处理相关概念的训练问题。首先，描述性定义是为了便于学生认识、方便交流，不必倾注过多精力在描述性定义的应用训练中，对这些概念的内涵与外延进行拓展训练就更没有教学意义，如下列问题就不宜作为学生训练与教学评价材料。教材中称整数和分数统称有理数，从更高的视角看，整数也是分数，整数和分数统称有理数的说法是欠妥的。教材中称单项式与多项式统称为整式，从更高的视角看，单项式可以看作多项式。教材之所以这样表述，是为了使学生在认知可能的前提下对有理数、整式的意义有一个初步的认识，便于学生掌握。实际教学中既要关注其对立性，又要关注其统一性，过于强化对立性，不利于培养学生的辩证思维。【本文系湖南省教育科学“十三五”规划立项课题“初中数学自主深度教学的实践研究”（课题号：XJK016BZXX040）的阶段性成果】（作者单位：沅江市教育局教育研究室）