1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每题6分，共36分)1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，那么这艘船的速度是每小时()A5海里B5海里C10海里 D10海里【解析】如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C2如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，那么该四边形的面积等于()A. B5C6 D7【解析】连接BD，在BCD中，BCC
2、D2，BCD120，CBD30，BD2，SBCD22sin120，在ABD中，ABD1203090，AB4，BD2，SABDABBD424，四边形ABCD的面积是5.【答案】B3某人在C点测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，那么塔高为()A15米 B5米C10米 D12米【解析】如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，那么OCOAh.在RtAOD中，ADO30，那么ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h1
3、0或h5(舍)【答案】C4(2023年广东六校联考)在ABC中，假设SABC(a2b2c2)，那么C()A. B.C. D.【解析】由题意得absinC(a2b2c2)2abcosC，tanC1.又0C，C.【答案】B5在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4.那么的值为()A15 B10C5 D20【解析】由得：在ACD中，AC30，CDAD10，cosACD，ACD30，即230，15.【答案】A6ABC的周长等于20，面积是10，A60，那么A的对边长为()A5 B6C8 D7【解析】ab
4、c20，bc20a，即b2c22bc400a240a，b2c2a240040a2bc又cosA，b2c2a2bc又SABCbcsinA10，bc40由可知a7.【答案】D二、填空题(每题6分，共18分)7一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.【解析】如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30km.【答案】308甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，那么甲、乙两楼的高分别是_【解析】
5、如图，依题意有甲楼的高度AB20tan6020米，又CMDB20米，CAM60.所以AM米，故乙楼的高度为CD20米【答案】20米，米9在ABC中，sinAsinBcosCsinAsinCcosBsinBsinCcosA，假设a、b、c分别是角A、B、C所对的边，那么的最大值为_【解析】在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：abacbc，化简得：3c2a2b22ab，故，即的最大值为.【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10(2023年全国)在ABC中，cosB，cosC.(1)求sinA的值；(2)设ABC的面积SABC，求BC的长【解析】(1)由cosB，
6、得sinB，由cosC，得sin C.所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.(2)由SABC，得ABACsinA，由(1)知sinA，故ABAC65，又ACAB，故AB265，AB.所以BC.11某单位在某一次救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m的C、D两地(A、B、C、D在同一平面上)，测得ACD45，ADC75，BCD30，BDC15(如图)，假设考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：1.4，1.7，2.6)【解析】在ACD中，CAD180A
7、CDADC60，ACD45，根据正弦定理ADCD，在BCD中，CBD180BCDBDC135，BCD30，根据正弦定理BDCD.又在ABD中，ADBADCBDC90，且CD6 000(m)根据勾股定理有，ABCD1 000(m)，12AB7 425.6，故实际所需电线长度约为7 425.6 m.12ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB.(1)求角C；(2)试求ABC面积S的最大值【解析】(1)由2R(sin2Asin2C)(ab)sinB，两边同乘以2R，得(2RsinA)2(2RsinC)2(ab)2RsinB，根据正弦定理，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，a2c2(ab)b，即a2b2c2ab.再由余弦定理，得cosC，又0C，C.(2)C，AB.SabsinC(2RsinA)(2RsinB)R2sinAsinBR2sinAsin(A)R2sin(2A)R2，当2A，即A时，S有最大值()R2.