1、112 函数极限与连续性 一、明确复习目标1了解函数极限的概念;2掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限;3了解函数连续的意义;会判断简单函数的连续性;4理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 二建构知识网络1当x时函数f(x)的极限: (1)当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x+时,f(x)a)(2)同理表示(3)当,且时,即2当xx0时函数f(x)的极限:当自变量x无限趋近于常数x0（从x0两侧,但xx0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时, 函数
2、f(x)的极限是a,记作,(或xx0时,f(x)a)(1)与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。(2)“连续函数在x0处的极限就等于f(x0)3函数f(x)的左、右极限:(1)如果当x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)的左极限，记作。(2)同理表示(3) 判断函数在一点处极限存在的方法4极限不存在的三种形态：左极限不等于右极限；时，时，的值不确定。5函数极限的运算法那么(与数列类似)6对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子等变形，转化极限存在的式子再求。7函数连
3、续的定义: (1)如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续(2)如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数(3)如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间a，b上连续,或f(x)是闭区间a，b上的连续函数8连续函数的性质最大值最小值定理如果f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值三、双基题目练练手1(
4、2023四川) 下面结论正确的选项是 ( )Af(x)在x=1处连续 Bf(1)5 C D2设以下说法不正确的选项是 ( )A=1 B =1 C =1 D时f(x)极限不存在3函数f（x）=函数f（x）在哪点连续A处处连续 Bx=1 Cx=0 Dx=4(2023广东) 5 =_6要使f (x)=在点x=0处连续，那么需补充定义f (0)=_简答:1-3DCD; 3f（x）= f（x）=f（） 4 ; 5 ; 6 f (0)=f （x）= = =四、经典例题做一做【例1】求以下各极限：（1）（2）（x）； (3) （a0）解:（1）（2）原式=a+b(3) 原式= =提炼方法：1对于题(1)“要
5、先除以x的最高次方;题(2)“-要先有理化,然后再求极限;2在题(3)中,当b0时, f （x）在x0处不连续，x0时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极限【例2】（1）设f（x）=试确定b的值,使存在（2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,当且仅当b=2时, f （x）= f （x）,故b=2时,原极限存在（2）由于f（x）是多项式,且=1,可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）又=5,即（4x2+x+a+）=5,a=5,b=0, 即f （x）=4x3+x2+5x点
6、评:（1）理解极限的定义和极限存在的条件;（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值【例3】函数f （x）=，试求:（1）f （x）的定义域，并画出图象；（2）求f （x）、f （x）,并指出f （x）是否存在解:（1）当|x|2时，=1;当|x|2时，=1;当x=2时，=0;当x=2时，不存在f （x）=f （x）的定义域为x|x2或x=2或x2如以下列图:（2）f （x）=1,f （x）=1f （x）不存在【例4】讨论函数的连续性,并作出函数的图象分析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性解:当0x1时，f （x）= x=x;当x1时，f （x）= x=x=x;当x=1
7、时，f （x）=0f （x）=f（x）=（x）=1,f（x）= x=1,f（x）不存在f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续图象如以下列图所示提炼方法: 分段函数讨论连续性，要讨论在“分界点的左、右极限，进而判断连续性【研讨欣赏】设f(x)在(a,b)内连续,如果为(a,b)内的任意n个点求证:在x1,xn上至少存在一点x0,使得证明:由连续函数的性质,f(x)在闭区间x1,xn上必有最大值M,和最小值m,从而mf(xi)M,(i=1,2,n),从而必有x0,使五提炼总结以为师1有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积）,在求几个函数的和（或积）的极限时，
8、一般要化简，再求极限；2两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在3求函数的极限的几种根本的方法:代入法；约去分母为零的因式；分子、分母同除x的最高次幂；有理化法4函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件:函数f（x）在点x=x0处有定义;函数f（x）在点x=x0处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）同步练习 112 函数极限与连续性【选择题】1函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2以下命题中正确的选项
9、是 （ ） 3 f（x）=的不连续点为 ( )Ax=0 Bx=（k=0,1,2,）Cx=0和x=2k（k=0,1,2,） Dx=0和x=（k=0,1,2,）【填空题】4（2023北京）的值等于_ 5设,那么= 6 =_6原式=（cos+sin）简答提示：1-3ACD; 4 ; 5 6【解答题】7求以下函数的极限：（1） （2）(3) 设f（x）=求f（x）解：（1） （2）(3) f（x）=1, f（x）=1,f（x）=18 设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=3,求出这一函数最大值解:f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, f （x）=f （x）,即ax
10、2+bx+c=ax2bx+cb=0 f （x）=ax2+c又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1 f （x）=x2+1f （x）max=f（0）=1 f （x）的最大值为19 设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（,+）内是连续的10 设f(x)是x的三次函数,试求的值,(a为非零常数)解:由可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-c),且有【探索题】在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求解：设所在圆圆心为O,那么C、D、O都在AB的中垂线上,AOD=BOD=设OA=rSABC=S四边形AOBCSAOB=r2sinr2sinx=r2sin（1cos）,SABD=S四边形AOBDSAOB=r2tanr2sinx=r2=备题 1求解法一：为方程的一根，得，代人可得解法二：=，代人可得