1、第五章 平面向量 复数知识结构网络5.1平面向量的概念与运算一.明确复习目标1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件 二建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:或等；向量的长度即向量的模记作|。(2)零向量： 其方向：(3)单位向量： 单位向量不唯一.(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：与任意向量平行。(5)相等向量：长度相等且方向相同.2.向量加法: 设，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法那么或“三
2、角形法那么进行。DCBA 如图 +=。 或 += 规定：； (2) 向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法 （1）相反向量：关于相反向量有： =； +()=()+=；假设、是互为相反向量，那么=,=,+=。（2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。(3)温馨提示：用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。三角形法那么的特点是“顺次首尾相接由此可知,封闭折线的向量和为零. 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4.实数与向量的积(1)实数与向量
3、的积：是个向量;模等于方向0时与同向,0时与反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理：向量与非零向量共线怎样判定向量共线(1)共线向量定理；(2)依定义; (3)用几何方法.6.平面向量的根本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、双基题目练练手1(2023 广东) D是ABC的边AB上的中点，那么向量 （ ）A. B C. D. 2（2023山东）向量，且那么一定共线的 ( )A .、B、D B. A、B、C C. B、C、D D.A、C、D3（2023江西）等差
4、数列的前项和为,假设,且、三点共线(该直线不过点),那么等于 （ ） A.100B.101 C.200 D.2014设为非零向量，那么以下命题中,真命题的个数是_与有相等的模；与的方向相同；与的夹角为锐角；且方向相反5. (2023 安徽)在平行四边形 ABCD中,M为BC的中点,那么=_（用表示） 6.设向量、不共线，=k+，=+k (kR)，假设，那么k=_7.(2023湖南) 如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,PBAOM那么的取值范围是_; 当时, 的取值范围是_. 答案:1-3.AAA；4.2; 5. 找封闭折线,得; 6. = (R);法2.
5、仿坐标表示:k2-1=0; 7.() ,.提示:作PC/OB,交AO延长线于点C,可知x0.当时,PC/AB,设PC交OM于D,交AB延长线于E,P必在DE之间,可知.四、经典例题做一做【例1】如图,在梯形ABCD中 ,G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量。GFEDCBA图1解：（1） E,F分别是两腰的中点，,又，两式相加得；（2）设，由得：,提炼方法：1.用好“封闭折线的向量和等于零向量;2.由共线求交点的方法:待定系数,.【例2】设不共线，求证：点P、A、B共线的充要条件是： 。证明：充分性：A、P、B共线。必要性：A、P、B共线，那么有必要性成立。特例：当
6、时，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。提炼方法1. 利用向量证明三点共线的方法：(1) 证明有公共点的的两个向量平行,那么这两个向量的四个(三个)端点共线；(2) 利用此题的结论.2.证向量平行的方法:(1)共线向量定理；(2)依定义; (3)用几何方法.【例3】G是ABC的重心，O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证：baGCBA图2D(1) ;(2) ;(3) ;(4) 点O、G、H三点共线。证明：(1)以向量为邻边作平行四边形GBEC，那么，又G为ABC的重心知，从而，。（2）如图1易知，；三式相加得（3）作辅助线如图2,DAAC,DBBC,DA/BH,DB/AHDOH
7、CBAE图3在ADBH中,(4)在(2)中取P为O,得,点O、G、H共线。提炼方法：1.明确解题目标,用好加法的两个法那么、几何图形和向量中处理问题的一些手法，如向量共线、点共线的证法和用法;2.（2023全国）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，那么实数m = .是题(3)的结果.【例4】一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从处出发航行到河的正对岸处，船的航行速度为，水流速度为. (1)试求的夹角(精确到),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到); (2)要使船到达对岸所用时间最少, 的夹角应为多少AB解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以,的夹角满足
8、,故的夹角；船垂直到达对岸所用的时间.（2）设的夹角为（如图），在垂直方向上的分速度的和为，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为，从而所用的时间为，显然，当时，最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为.提炼方法：理解物理意义，用向量的知识解决.ABC图4 EIDF【研讨.欣赏】如图4,求证ABC的三条角平分,AD,BE,CF交于一点.证明:设,CF,BE交于点I.由于C,I,F共线, B,I,E共线,可设由得,不共线,同理设CF,AD交于点J,可求得=,即J与I重合,说明三条角平分线交于一点.方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上.五提炼总结以为师1.向量的有关概
9、念: 向量零向量单位向量平行向量（共线向量）相等向量2.向量加法减法:3.实数与向量的积4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值.5.平面向量的根本定理, 基底。同步练习 5.1平面向量的概念与运算【选择题】CBAD1.(2023上海) 如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）；2. (2023福建)点C在内,使。设，那么等于 ( )A.B.3C.D.3. 设非零向量,假设= + + ,那么|的取值范围是（）A0,10,20,3-3,34.(2023全国)设平面向量、的和 如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，
10、那么 ( )A B C D 【填空题】5.设是不共线的向量,向量,，假设A,B,D三点共线,那么k的值等于_-8 （，）是平面上一个基底，假设=+，=-2-，假设，共线，那么=_。练习简答：1-4.CBCD; 2.易知OCAB,由得. 3.、是单位向量,把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时|最大为3，终点均匀分布在单位圆上时|最小为0. 5. -8; 6. 【解答题】HDFaBAMC7. 如图：在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、解： ABCD中，BF=MC=BC, FM=BC=AD=AH FM AH四边形AHMF也是平行四边形，AF=HM又
11、, 而= + , = - - -(- ) = + 8.求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在同一条直线上证明：设起点为O，=，32，那么=2()，=， 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，32的终点在同一直线上9. 假设a、b是两个不共线的非零向量（tR）.（1）假设a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上（2）假设|a|=|b|且a与b夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小解：（1）设atb=ma（a+b）（mR），化简得（1）a=（t）b.a与b不共线，t=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上.（2）|atb|2=（atb）2=
12、|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=（1+t2t）|a|2，t=时，|atb|有最小值|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.10. 求证的三条中线AD、BE、CF交于一点，并确定交点在中线上的位置。_GFEDAC证明：设，交于点，在ACG中，由，可得同理可证，也交于点，在的三分点处【探索题】在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示. ABCMNE解：由得=，=.设=，R，那么=+=+.=+（）=+（）=（）+.同理，设=t，tR，那么=+=+t=+t（）=+t（）=（）+t.（）+=（）+t.由与是不共线向量，得解得 =a+b.