1、2023届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.3不等式的证明I一、明确复习目标1理解不等式的性质和证明;2掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二建构知识网络1. 比较法证明不等式是最根本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：作差；分解因式或配方；判断差式符号；（2）比商法：要证ab且b0，只须证 1。说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单
2、调性）作为根底，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。5. 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。三、双基题目练练手1.设0x1，那么a=x，b=1+x，c=中最大的一个是 ( )A.aB.bC.cD.不能确定
3、2.（2023春上海）假设a、b、c是常数，那么“a0且b24ac0”是“对任意xR，有ax2+bx+c0”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 设（0，+），那么三个数，的值（）A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.对于满足04的实数，使恒成立的的取值范围是 5假设a、bR，有以下不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中一定成立的是_.6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,那么v1与v2的大小关系为_.简答:1-3.CA
4、D; 4. ; 5. ; 6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2v0），那么船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1=.v1v2=v2=0，v1v2.答案：v1v2四、经典例题做一做【例1】（1）a,bR,求证: a2+b2+1ab+a（2）设求证证明：（1）p= a2+b2+1-ab-a=显然p0 得证（2）证法一:左边-右边= = = = 原不等式成立。证法二:左边0，右边0。 原不等式成立。提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用根本不等式放缩，如证法二。 【例2】a+b+c=0，求证：ab+b
5、c+ca0.证明法一：（综合法）a+b+c=0，（a+b+c）20.展开得ab+bc+ca=，ab+bc+ca0.法二：（分析法）要证ab+bc+ca0，a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，亦即证（a+b）2（bc）2（ca）20而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立.证法三：a+b+c=0，c=a+b.ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab（a+b）2a2b2ab（a）20ab+bc+ca0.【例3】的三边长为且为正数.求证:证明一:分析法: 要证只需证 在ABC中, 式成立,从而原不等式成立.证明二:比较法:
6、证明二: 因为为的三边长, 所以【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两根x1、x2满足1x1x2.（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0.证明：（1）令F（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，F（x）=a（xx1）（xx2）.当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0.又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）.又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2，x1x0，1+a（xx2）=
7、1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）x1.综上，可知xf（x）x1.（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2 对称轴为x=x0=, ()法2:由题意知x0=.x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根，x1+x2=.x0=.又ax21，x0=.题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验.【研讨.欣赏】a1，m0，求证：loga（a+m）loga+m（a+2m）.证法1：取对数得：lg(a+m)lgalg(a+2m)lg(a+m)0 又
8、lgalog(n+1)(n+2)法2：loga（a+m）log（a+m）（a+2m）=a1，m0，lga0，lg（a+2m）0，且lgalg（a+2m）.lgalg（a+2m）（）2=22=lg2（a+m）.0.loga（a+m）log（a+）（a+2m）.提炼方法:1.综合法,为什么想到用“感觉式子的结构特征;2.比较法.把对数的积用均值 不等式化为对数的和是一步关键的决择.五提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的根本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差变形(分解因式或配方)判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分
9、析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。同步练习 6.3不等式的证明I 【选择题】1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，那么 ( )A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y（+1）2D.x+y（+1）22.假设0a0，f(x)=，那么A、f(x)2 B、f(x)10 C、f(x)6 D、f(x)34.，（a2），那么AA、 pq B、p0,a+b2. 又ab
10、1.8己知都是正数，且成等比数列，求证：证明:成等比数列，都是正数， 9. 设x0,y0且xy,求证证明：由x0,y0且xy,要证明只需 即只需由条件,显然成立.原不等式成立10. 求证：在非RtABC中，假设ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，那么必有a+hab+hb.证明：设S表示ABC的面积，那么S=aha=bhb=absinC.ha=bsinC，hb=asinC.（a+ha）（b+hb）=a+bsinCbasinC=（ab）（1sinC）.C，1sinC0.（ab）（1sinC）0.a+hab+hb.【探索题】x,y,z(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证：证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx=4,故。又三式相加得,两边加上得 u1,原不等式得证。