1、95空间的角和距离一、明确复习目标1.掌握空间三种角的概念和求法；2.掌握空间中各种距离的概念和求法；3能利用这些概念和方法进行论证和解决有关问题.二建构知识网络1空间的三种角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角.2距离有七种，即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离.空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用以下计算公式.3.常用计算公式（1） S=S.cos （2） cos=cos1cos2能想象上式中，1，2是什么角，S，S表示什么吗？(3) 异面直线上两点间距离公式: 设异面直线a
2、，b所成角为 那么EF2=m2+n2+d22mncos三、双基题目练练1在正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BC=AB，这时二面角BADC大小为 （ ）A600 B.900 C.450 D.12002.在ABC中，AB=15，BCA=120，假设ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，那么P到的距离是 （ ）A.13 B.11 C.9 D.73.三棱锥VABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成二面角分别为，（都是锐角），那么cos+cos+cos等于 （ ） A.1 B.2 C. D.4.设PARtABC所在的平面，BAC=90，PB、P
3、C分别与成45和30角，PA=2，那么PA与BC的距离是_；点P到BC的距离是_.5对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题_，这个命题的真假性是_ .6。正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，那么点到侧面的距离为_答案提示：1-3ABA； 4. ； 2提示：作PO平面ABC于O，那么O是的外接圆圆心，且AOB=12003提示：四个面全等，设面积为S，设三个侧面在底面上的射影分别是S1、S2、S3，那么 S= S1+S2+S3=Scos+Scos+Scos5“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那麽这两个二面角的平面角相等
4、或互补.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的. 6。四、以典例题做一做【例1】如图，三棱锥DABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，ABC=BAD=900，其腰BC=a，且二面角DABC=600.（1） 求异面直线DA与BC所成的角；（2） 求异面直线BD与AC所成的角；（3） 求D到BC的距离；（4） 求异面直线BD与AC的距离.DCBA解析：（1）DA与BC成600角（2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，那么OF/BD，求AOF即为异面直线BD与AC成角在AOF中可求得AOF =arccosFOMDECNBA （3） BA平面ADE 平面DAE平面ABC故取AE中点
5、M，那么有DM平面ABC；取BC中点N，由MNBC，根据三垂线定理，DNBC DN是D到BC的距离在DMN中，DM=a，MN=a DN=a （4） BF平面BDF，AC平面BDF，ACBF AC平面BDF； 又BD平面BDF AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ， ，即异面直线BD与AC的距离为评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.【例2】（2023邯郸二模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABAD,ABDC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点,() 求证：CM侧面PAD；（）求直线CM与底面ABCD所成
6、的角；（）求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小DCBPAM解：()证明：作MNAB交AP于N,连结DN,那么MNABCD,且 CMND,CM平面PAD（）CMND, ND与平面ABCD所成的角为所求.侧面PAD底面ABCD，ND在平面ABCD上的射影为ADAND为所求； PAD是正三角形，N是PA的中点CM与底面所成的角为30. （）延长AD、BC交于点E,连结P、E.那么PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，APE=90，APPEDCBPAME又ABAD,平面PAD底面ABCD AB平面PAEBPPE, BPA为所求二面角的平面角tanBPA=所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为
7、arctan2 【例3】如图，二面角PQ为60，点A和点B分别在平面和平面 内，点C在棱PQ上，ACP=BCP=30，CA=CB=a.（1）求证：ABPQ；（2）求点B到平面的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面所成的角为45，求线段CR的长度.QPBCDRAE证明（1）：在平面内作BDPQ于D，连结AD.ACP=BCP=30，CA=CB=a，CD公用，ACDBCD . ADC=BDC= 90，即ADPQ.于是PQ平面ABD，那么ABPQ.（2）解：由（1）知，ADB是二面角PQ的平面角，ADB=60.又PQ平面ABD，平面ABD.过B作BEAD于点E，那么BE即为B到平面的距离
8、.BE=BDsin60=BCsin30sin60= a.（3） 解：连结ER，BE，BRE是BR与所成的角，即BRE=45，那么有BR= a.易知ABD为正三角形，AB=AD=BD=a.在ABC中，由余弦定理得cosBCA=.在BCR中，设CR=x，由余弦定理得（a）2=x2+a22ax，求得x1=，x2=（舍去，CRAC=a），故CR=.【例4】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，,（）证明：；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小解:（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，DBCASE故，由，又，
9、作，垂足为，那么平面，连结为直线与平面所成的角直线与平面SBC所成的角为五提炼总结以为师同步练习 9.5空间的角和距离1.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，那么E到A1B的距离是 ( )A. a B. a C. a D. a2.异面直线a，b，ab，c与a成300，那么c与b成角范围是 ( )A. 600，900 B.300，900 C.600，1200 D.300，12003.平面内的MON=60，PO是的斜线，PO=3，POM=PON=4，那么点P到平面的距离 （ ） A. B. C. D. 4.一个山坡面与水平面成1200的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为
10、AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，假设PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为 ( )A. B. C. D.5.如图，在正三棱柱中，假设二面角的大小为，那么点到平面的距离为_ 6.l1、l2是两条异面直线，、是三个平面依次互相平行，l1、l2分别交、于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与成30角，那么与的距离是_；DE=_.答案： 1-4DAAB； 5. ; 6. 6 、 2.5； 【解答题】7.正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点. （1）证
11、明：截面C1EAF平面ABC1.（2）求点B到截面C1EAF的距离.证明（1）：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EFB1C，直线B1CBC1且B1CAB，那么直线B1C平面ABC1，得EF平面ABC1.而EF平面C1EAF，得平面C1EAF平面ABC1.AADDBBCC1111EF解（2）：在平面ABC1内，过B作BH，使BHAC1，H为垂足，那么BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH=. 8 （2022广东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直
12、线EC1与FD1所成的角的余弦值。解：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1/E1E, D1C1=E1E,那么四边形D1E1EC1是平行四边形。那么E1D1/EC1.于是E1D1F为直线与所成的角。在RtBE1F中，. 在RtD1DE1中, 在RtD1DF中,在E1FD1中,由余弦定理得：直线与所成的角的余弦值为.9.（2023全国I）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段 点A、B在上，C在上， （）证明；（）假设，求与平面ABC所成角的余弦值 _N_M_H_C_B_A证明 ()由l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得l2平面AB
13、N 由MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB 又AN为AC在平面ABN内的射影 ACNB （）RtCANRtCNB, AC=BC,又ACB=600,因此ABC为正三角形. RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角 在RtNHB中,cosNBH= = = 【探索题】如图，在600的二面角CD中，AC，BD，且ACD=450，tgBDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离.解析：作AECD于E，BFCD于F，那么EF为异面直线AE、BF的公垂段，AE与BF成600角，可求得|AB|