1、96棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的外表积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法二建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
2、过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，n棱柱.按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱: 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体.请在“上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质侧棱、侧面的性质和一些Rt(
3、1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。2.性质：平面截球所
4、得的截面是圆.（1）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系：3.S球=4R2；V球=R3.三、双基题目练练手1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在 ( )A.直线AB上; B.直线BC上; C.直线AC上; D.ABC内部 A1ABB1CC12如图，正三棱锥PABC顶点P在底面上的射影在ABC内部，M是侧面PAB上的点，且M到点P的距离等于M到底面的距离,那么点M的轨迹是( )A椭圆的一段 B.双曲线的一段 C.一段抛物线 D.直线段MCBAP3. (2023全国卷II)将半径都为
5、1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为 （ ）A B C D4.三条弦PA、PB、PC两两垂直的，且，那么过点P、A、B、C的球面O的半径R= ；5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，这个侧面与它所对的棱的距离为d，那么这个三棱柱的体积为_.6.在三棱锥SABC中，ASB=ASC=BSC=60，那么侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_. ACSB7.地球的半径为R,北纬450纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的，那么A、B两地间纬线长为 答案提示：1-3. AAC； 4.5. dS; 6 arccos; 7. 1提示：BC1在上底面的射影垂直于AC，必为AB.
6、法二：AC平面ABC1，从而平面ABC1平面ABC4先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径.5. 补上一个相同的棱柱成为平行六面体；或割成三个相同的三棱锥.四、经典例题做一做【例1】如图，设三棱锥SABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC. ABCDSO（1）求证：SABC为正三棱锥；（2）SA=a，求SABC的全面积.证明（1）：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥SABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.ABCDSOEF因为SABC，所以ADBC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的
7、外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又BAC=60，故ABC为正三角形，且O为其中心.所以SABC为正三棱锥.解（2）：在RtSAO中，由于SA=a，SAO=600，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot600=a，OD=AD=a.在RtSOD中，SD2=SO2OD2=（a）2（a）2=，那么SD=a.于是，（SSABC）全=（a）2sin603aa=a2.思悟探讨（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosS正棱锥侧（为侧面与底面所成的二面角）.（2）注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底
8、面边长相等的性质，反之亦真.（3）正三棱锥中，假设侧棱与底面边长相等，那么可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.【例2】 三棱锥ABCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.设E、F为CD、AB的中点，那么O在EF上且O为EF的中点.在ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.解法二：设球心O到各面的距离为R. 那么4SR=VABCD，S=64=12，VABCD=2VCABE=6.412R=6.R=.评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.【例3】（2023邯郸一模），三棱柱ABC-A
9、1B1C1中，侧棱与底面成600的角，ABAC，BC1A1C1，AB=4，AC=3. (1).求证：截面ABC1底面ABC；(2).求三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最小值；(3).求三棱柱ABC-A1B1C1体积最小时，截面A1BC1与底面ABC所成二面角的大小.B1A1C1CBA证(1)：在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC A1C1,BC1A1C1, BC1AC,又 ABAC, AC面ABC1, 面ABC1面ABC. 解（2）：作C1H面ABC于H, 那么H在AB上，连CH，那么HCC1=600 当H与A重合时CH最短，棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短三棱柱ABC-A1B
10、1C1 的体积V最小.此时，ACC1=600, C1H=AC1=3V=解（3）设面ABC交面A1BC1于直线 m,那么 m为二面角的棱.ACA1C1 , AC面A1BC1, ACm , ABm, 又AC1面ABC,由三垂线定理知C1Bm,ABC1为所求二面角的平面角.在RtABC1中， tanABC1=【例4】如图，三个1212 cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片（如图（1），把6片粘在一个正六边形的外面（如图（2），然后折成多面体（如图（3），求此多面体的体积.EDC解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=123=864 cm3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图
11、乙，V=V大三棱锥3V小三棱锥=864 cm3. 解法三：如图（3）7设C是所在棱的中点，截面CDE把几何体截成两局部，沿DE把上局部翻转过来可拼成正方体的下一半.思考讨论补形的方法可将不规那么的几何体转化成规那么的几何体，这是求多面体体积的常用方法.五提炼总结以为师1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据，要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算；2.三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一； “割“补是解决立体几何，尤其是体积问题的常用技巧.正棱锥的四个“特征直角三角形，是将“空间问题转化为“平面问题的桥梁.3.球的概念和性质以及面积、体积是解决有关
12、问题的重要依据；它的轴截面是解决问题的重要“场所，球半径、截面圆半径、圆心距都在这个图形内，它把空间问题转化为平面问题.4.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.同步练习 9.6棱柱、棱锥和球【选择题】1.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点，设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为、，那么cos2+cos2+cos2的值是 （ ）A.1 B.2 C. D.不确定2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的外表积是 （ ）A.20B.25C.50 D.2003各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16
13、，那么这个球的外表积是（ ）A. B. C. D.【填空题】4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三局部的面积的比（自上而下）为_.5.（2022年北京）地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是_cm，外表积是_cm2.6.球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，那么球心到平面ABC的距离为 . 答案提示： 1-3ACC； 4. 135; 5. 4 192; 6.距离为12.【解答题】7. （2023山东）如图，平面平行于三棱锥的底面ABC，等边所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角的大小.ABCA1VB1C1证明（）平面平面， 又平面平面，平面平面，平面， ，又，.为与的公垂线.解（）：过A作于D， 为正三角形，D为的中点.BC平面 ，又，AD平面，线段AD的长即为点A到平面的距离.在正中，.点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，那么平面，且=.由（）知，设A到平面的距离为x，即, 解得.即A到平面的距离为.那么 到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二