1、基于核心素养的一道几何习题的变式教学探究李志平摘 要 几何教学是初中数学教学的重要组成局部，也是初中数学教学的难点. 如何通过几何教学培养学生核心素养，是新时代数学教师所面临的课题. 文章抛砖引玉，以“共顶点旋转全等三角形为根本模型，结合平行线、全等三角形、角平分线、等腰三角形等八年级学生所掌握的知识，以课本的一道习题为出发点，改编出一系列变式练习，希望通过变式教学，促进学生數学核心素养的开展.关键词 几何习题;变式教学;核心素养在当前初中几何教学中，局部教师未能充分开发教材例、习题资源，过于推崇课外资料，加重学生学业负担，对教材根底性的例、习题缺乏重视或认识缺乏，对教材例、习题的使用存在局限
2、性，对例、习题的讲解缺少解题思路剖析，没有揭示题目背景，也没有适当地变式拓展. 本文以一道课本习题为例，结合学生既有知识，形成一系列变式教学. 这既有利于培养学生在几何直观和逻辑推理方面的核心素养，也能够给开始尝试几何变式教学的教师提供参考.原题及出处新人教版数学教材八年级上册第83页习题13.3第12题：如图1，ABC，ADE都是等边三角形，求证：BD=CE.原题分析与解答背景分析：此题是以“共顶点旋转全等三角形为根本模型的题型. 此题型在教材、课外参考资料乃至中考中屡见不鲜，它有多样的变式和漂亮的性质，对学生的思维具有深刻的启发作用，对变式教学而言具有极大的研究价值.思路分析：可通过证明A
3、CEABD得CE=BD. 根据等边三角形的性质，可以通过SAS证ACEABD，也可以通过把ABD绕点A顺时针旋转60得到ACE，同样可得ACEABD.证明：因为ABC和ADE为等边三角形，所以AB=AC，AD=AE，BAC=DAE= 60. 所以由ABD绕点A顺时针旋转60可得ACE，所以ACEABD，所以CE=BD.变式拓展变式1 “8字形？摇如图2，ABC和ADE均为等边三角形，求证：COB=60.证法一：易证ACEABD，所以ACE=ABD，在APC和OPB中，由外角性质知：APO=PCA+PAC，APO=PBO+POB，所以COB=CAB=60.证法二：易证ACEABD，所以ACE=A
4、BD，在APC和OPB中，由三角形内角和定理知：APC+PCA+PAC=180，BPO+PBO+POB=180. 又因为APC=BPO，所以COB=CAB=60.评注 “全等三角形三组对应边的夹角相等是不要求学生掌握的性质，但在练习题甚至中考中却时常出现. 在变式1中，ACEABD，对应边AC和AB的夹角和对应边AE和AD的夹角均为60，由上述性质知：对应边CE和BD的夹角COB=60. 在学生解题过程中，上述性质不能直接运用，只能作为理解题目的切入点. 我们需要展示给学生的，是归纳这类图形的共性：共顶点旋转全等，对应角构成“8字形. 如图2阴影局部，ACE和ABD是对应角，两角四条射线交汇形
5、成“8字形ABOCA. 我们注意到，8字形由APC和OPB组成，在这两个三角形中分别运用外角的性质或三角形内角和定理可以证明对应边CE和BD的夹角也为60. 同理，另一组“8字形AEODA也可得对应边CE和BD的夹角EOD=60.变式1-1？摇 如图3，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求证：ECBF.证明：显然ACEAFB，对应角AEC和ABF构成“8字形ABMEA，由外角的性质或三角形内角和定理易证：EMB=EAB=90，所以ECBF.评注 找“8字形是求第三组对应边夹角的有效途径. 在构成“8字形的两个三角形中，有一组角是“共顶点旋转全等三角形的对应角，另一组角是对顶角，所以
6、第三组角相等. 因此我们只要找到构成 “8字形的两个三角形，就可轻易解决角相等的问题.变式2 二次全等如图4，ABD和BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：1BCQBEP;2BAPBDQ;3BPQ为等边三角形.证明：1显然BAEBDC，所以BCQ=BEP，易证PBE=QBC=60，BC=BE，所以BCQBEP.2同1法可证：BAPBDQ.3由1知BCQBEP，所以BP=BQ，又因为PBQ=60，所以BPQ为等边三角形.评注 此题是二次全等的典型习题，图形虽较复杂，但抓住本质即可快速解答，与原题有异曲同工之妙，有利于培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.变式3 角平分线的判定如
7、图5，ABD和BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：AMB=CMB.证明：如图5，过点B作BP，BQ分别垂直于AM，CM于点P，Q. 易证：BPEBQCAAS，所以BP=BQ，又因为BPAM、BQCM，所以BM平分AMC角平分线的判定，即AMB=CMB.评注 通过向角的两边引垂线段是解决角平分线角相等问题的一种常用方法. 但此题巧妙结合了角平分线的判定、等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定等知识点，对于八年级的学生而言，是一道综合性强、思路少、很难独立解决的问题. 如果教师能巧妙引导，帮助学生找到突破口，那么此题对于培养学生的几何逻辑推理能力具有极大的意义.变式4 等腰三
8、角形三线合一如图6，ABC和ADE都是等边三角形，点D在线段AC上，假设S =2S ，求证：1BDAC;2BCCE.證明：1显然ABDACE，所以S =S =2S . 所以S =S . 所以CD=AD. 又因为BC=BA，所以BDAC三线合一.2易证DCE=30，BCE=90，所以BDCE.评注 此题巧妙结合了全等三角形、等边三角形以及三角形中线平分面积等知识点，题型新颖、难度不大、解法较多，是一道综合性很强的练习题.变式5 平行线的判定如图7， ABC和ADE都是等边三角形，点D在BC上，试说明：CEAB.证明：显然ABDACE，所以ACE=ABD=CAB=60，所以CEAB.评注 此题是点
9、D落在BC上的一种特殊情形，在经过简短的证明后，却得到了始料未及的结论平行. 这个结论并不直观，但却巧妙地表达了逻辑推理在几何证明中的重要性.变式6 2023年广东中考第24题第2问如图8，正方形ABCD的边长为2，线段BC在其所在的直线上移动，记平移后的线段为PQ，连接PA，QD，过点Q作QOBD于O，连接OA，OP. 试问线段OA和OP之间有怎样的关系？并加以证明.解：OA=OP且OAOP，证明如下：根据题意可分为如图8和9两种情形，两图均易证OBQ为等腰直角三角形，所以BO=QO，显然ABO=OBQ=PQO=45，AB=BC=PQ，所以OBAOQPSAS，所以OA=OP，AOB=POQ，所以AOP=BOQ=90，即OA=OP且OAOP.评注 此题是共顶点旋转全等三角形的经典考题. 在繁杂的条件陈述中，发现此题的实质，找全全等的条件，对八年级的学生而言是一个巨大的挑战.小结变式教学在初中数学课堂教学中应用尤为广泛，特别是在初中几何例、习题的教学中，变式教学能有效地提升课堂教学效率，更是培养和开展学生数学核心素养的良好载体. 对于数学教师而言，研究如何通过变式教学，促进学生核心素养落到实处是一个意义深远、任务重大的课题.