1、第二部分第二部分 多目标优化方法多目标优化方法 Multi-Objective Optimization 第一节第一节 概述概述 第三节第三节 多目标优化的第一类方法多目标优化的第一类方法 第二节第二节 多目标优化设计理论多目标优化设计理论 第四节第四节 多目标优化的第二类方法多目标优化的第二类方法 第五节第五节 多目标优化的第三类方法多目标优化的第三类方法 国际上通常认为多目标最优化问题最早是在国际上通常认为多目标最优化问题最早是在18861886年由法国经年由法国经济学家济学家ParetoPareto从政治经济学的角度提出的从政治经济学的角度提出的。多目标规划的真多目标规划的真正发达时期正
2、发达时期，并正式作为一个数学分支进行系统的研究并正式作为一个数学分支进行系统的研究，是是上世纪七十年代以后的事上世纪七十年代以后的事。现在现在，对多目标规划方面的研究集中在以下几个方面对多目标规划方面的研究集中在以下几个方面:一一、关于解的概念及其性质的研究关于解的概念及其性质的研究，二二、关于多目标规划的解法研究关于多目标规划的解法研究，三三、对偶问题的研究对偶问题的研究，四四、不可微多目标规划的研究不可微多目标规划的研究，五五、多目标规划的应用研究多目标规划的应用研究。到现在为止到现在为止，多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果，而且在应用上其范围也越
3、来越广泛而且在应用上其范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工多目标决策作为一个工具在解决工程技术具在解决工程技术、经济经济、管理管理、军事和系统工程等众多方军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它强大的生命力面的问题也越来越显示出它强大的生命力。第一节第一节 概述概述 1.1.多目标优化设计示例多目标优化设计示例 11221 max()45 max()f XxxfXx目标函数示例示例1 1：某工厂生产两种产品：某工厂生产两种产品A A和和B,B,每件产品每件产品A A需制造工时需制造工时和装配工时分别为和装配工时分别为1 1时和时和1.251.25时，每件产品时，每件产品B B需制造工时
4、和需制造工时和装配工时分别为装配工时分别为1 1时和时和0.750.75时，每月制造车间和装配车间时，每月制造车间和装配车间能够提供的最多工时为能够提供的最多工时为200200时，另外，每月市场对产品时，另外，每月市场对产品A A需需求量很大，而对产品求量很大，而对产品B B的最大需求量为的最大需求量为150150件，产品件，产品A A和产和产品品B B的售价分别为的售价分别为4 4元和元和5 5元，问如何安排每月的生产，最元，问如何安排每月的生产，最大限度的满足市场需求，并产值最大？大限度的满足市场需求，并产值最大？12ABxx设计变量：产品 的件数，产品 的件数 0,1 .*61 max*
5、min21222122121xxxxtsxxxx示例示例2.2.用直径为用直径为1(1(单位长单位长)的圆木制成截面为矩形的圆木制成截面为矩形的梁的梁,为使重量最轻为使重量最轻,而强度最大而强度最大,问截面的高与宽问截面的高与宽应取何尺寸应取何尺寸?解解:设矩形截面的高与宽分别设矩形截面的高与宽分别 为和为和 ,这时这时梁的面积为梁的面积为 ,它决定重量它决定重量,而梁的强度取而梁的强度取决于截面形决于截面形 。1x2x21*xx221*61xx因此因此,容易列出容易列出 梁的数学模型梁的数学模型:示例示例3 3 物资调运问题物资调运问题:某种物资寸放三个仓库某种物资寸放三个仓库 里里,存放量
6、分别为存放量分别为 (单位单位:t);:t);现要将这些物资运往四个销售现要将这些物资运往四个销售点点 。其需要量分别为。其需要量分别为 且且 ，已知，已知 到到 的距离和单位的距离和单位运价分别为运价分别为 (km)(km)和和 (元元),),现要决定如何现要决定如何调运多少调运多少,才能使总的吨才能使总的吨,公里数和总运费都尽量少公里数和总运费都尽量少?123,A A A123,a a a1234,B B B B1234,b b b b34ijijabiAjBijdijc 解:设变量 表示由 运往 的货物数,于是总吨公里数为 ,总运费为 ,问题优化设计模型为 11ijijijxd4,3,2
7、,1;3,2,1,jixijiAjB4,3,2,1;3,2,1,04,3,2,1,3,2,1,.*min*min314131413141jixjbxiaxtsxcxdijijijiiijijijijijijij11ijijijxc 示例示例4 4：如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要求，已确定梁的总长为求，已确定梁的总长为10001000mmmm，第一段外径为，第一段外径为8080mmmm，第二段外经为第二段外经为100100mmmm，梁的端部受有集中力，梁的端部受有集中力F F12000N12000N，梁的内径不得小于梁的内径不得小于404
8、0mmmm，梁的许用弯曲应力为梁的许用弯曲应力为180MPa180MPa，确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。1 1 2 2 D D1 1=100100 D D2 2=8080 L=L=10001000 x1 x2 F F 多目标优化设计模型多目标优化设计模型 6117422232419.78 10.()18004.096 10()75.20()400()0 xstg XxgXxgXxgXx12xx设计变量：第一段梁的长度，梁的内径22221122112()()()()4f Xx DxLxDx33214444442212126411(
9、)()3LfXxEDxDxDx12min()(),)(TF Xf XfX 多目标最优化问题的一般形式为多目标最优化问题的一般形式为:S.t.或者记作:min D=12min(),(),()mf xf xfx()0,1,2.,()0,1,2,ijg xiph xjq()f x|()0,()0nxEg xh xxD 其中:=()()f x1(),()mf xfx1()()()pg xg xgx1()()()qh xh xh x2.2.多目标优化设计模型多目标优化设计模型 iGxFy为满足所有目标的参数 组成的参数空间为根据 按照目标函数 映射的组成的目标函数空间注意，这里以及注意，这里以及之后的所
10、有讲述之后的所有讲述同时同时适合于线性适合于线性和非线性的多目和非线性的多目标优化标优化 多目标优化设计几何描述多目标优化设计几何描述 在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中，因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中，任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化问题是半有序的。问题是半有序的。3.3.多目标优化问题解的特点多目标优化问题解的特点 T(1)(1)(1(1)(1)()(1)12T(2)(
11、2)(2)(2)12(1)(2)(1)(21)()2()(),(),()()(),(),(),()()(1,2,)mmllF Xf XfXfXF Xf Xff XfXfXXXlmXXXXX设为多目标优化问题的两个可行解，其对应若对于每一个分量，都则显然，优的目标函数于，记为有为 (1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)()()()()()()()jjllF XF XfXfXF Xf Xf XXX大多数情况下，的某几个分量小于的对应分量，但另外几个分量大于的对应分量 则显然，与无法比较优劣。1f2f2 1 3 第一类：转化法。这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标第一类：转化法。
12、这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。4.4.多目标优化方法分类多目标优化方法分类 第二类：非劣解集法。这类多目标最优化方法的基本思想是求第二类：非劣解集法。这类多目标最优化方法的基本思想是求得多目标问题的非劣解集，然后在非劣解集中进行协调和选择，得多目标问题的非劣解集，然后在非劣解集中进行协调和选择，确定出优惠解。确定出优惠解。第三类：交互协调法。这类多目标最优化方法的基本思想是通第三类：
13、交互协调法。这类多目标最优化方法的基本思想是通过在分析者与抉择者间的不断交互，逐渐搞清抉择者的选择意过在分析者与抉择者间的不断交互，逐渐搞清抉择者的选择意图，获得多目标问题的优惠解。图，获得多目标问题的优惠解。第二节第二节 多目标优化设计理论多目标优化设计理论 1.1.多目标优化设计模型多目标优化设计模型 .()0 1,2,()0 1,2,uvstgXuph Xvq 简记为简记为 VOP 多目标优化问题多目标优化问题(Multi-Objective Optimization Problem)又称为向量优化问题又称为向量优化问题(Vector Optimization Problem)。12mi
14、n()(),(),()TmF Xf XfXfX()V-mi nnF XXDR 2.2.决策空间与目标空间决策空间与目标空间 ()0 1,2,()0 1,2,=uvngXupXhXvqDXR 以设计变量为坐标的实空间以设计变量为坐标的实空间Rn称为决策空间。称为决策空间。以目标函数为坐标的实空间以目标函数为坐标的实空间Rm称为目标空间。称为目标空间。决策空间可行域：决策空间可行域：目标空间可行域目标空间可行域 12=(),(),(),mTFmXDFRFf XfXfXXD 示例示例1 1 112212324152.()2000()200 1.250.750()1500()0()0stg XxxgX
15、xxgXxgXxgXx决策空间决策空间可行域可行域 目标空间目标空间可行域可行域 T121max F()45 Xxxx，示例示例2 2 6117422232419.78 10.()18004.096 10()75.20()400()0 xstg XxgXxgXxgXx22221122112()()()()4f Xx DxLxDx决策空间决策空间可行域可行域 目标空间目标空间可行域可行域 12min()(),()TF Xf XfX33214444442212126411()()3LfXxEDxDxDx 3.3.解的定义解的定义 （1 1）理想解理想解(ideal solution)000012,
16、TmFfff在目标空间内，以单目标最小值为分量而形成的点，在目标空间内，以单目标最小值为分量而形成的点，称为多目标问题的理想解称为多目标问题的理想解。0min()njjffXXDR其中 在多目标优化问题中，在多目标优化问题中，由于各个目标间往往是由于各个目标间往往是矛盾的，所以一般不存矛盾的，所以一般不存在使各目标皆达到各自在使各目标皆达到各自最优值的理想解最优值的理想解。f x X(0)f1(0)f2(0)f1 f2 （2 2）非劣解（非劣解（Noninferior Solution）或）或 Pareto 解解()()pF XF X对于可行点对于可行点XP D，若不若不存在另一个可行点存在另一个可行点X D，使使()()1,2,()()ppjjllfXfXjmfXfX 但至少有一个 成立，则称成立，则称Xp为多目标问题的非劣解。为多目标问题的非劣解。向量不等式的含义为向量不等式的含义为 决策空间决策空间非劣解集非劣解集 目标空间目标空间非劣解集非劣解集 7.1 模型举例 0,1 .*61 max*min21222122121xxxxtsxxxx例7.1.用直径为1(单位长)的圆木制成