1、20232023学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 试 题 2023.15、设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出以下四个命题：假设； 假设，那么；假设；假设.其中所有正确命题的序号是 答案：15、（此题总分值14分）如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且. ()求证：； ()求证：平面平面.答案15、证:()连接交于,连接.分别是的中点，且=,四边形是矩形.是的中点(3分)又是的中点,(5分)那么由,得(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分)() 在直三棱柱中，底面,.又,即,面(9分)而面, (11分)又,由() ，平面 (13分)平面，平面平面. (14分
2、)二、必答题：本大题共2小题，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解容许写出文字说明，证明步骤或演算步骤AOECB（第5题）5 如图，三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系那么有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0） 2分cos 4分由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是5分（2），设平面ABE的法向量为，那么由，得目 取n（1，2，2），平面BEC的一个法
3、向量为n2（0，0，1），7分9分由于二面角ABEC的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是 10分江苏省2023高考数学模拟题(压题卷)二、2如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证： MN /平面DAE解：(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，又BFBC=B，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE(2)如下列图，取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点所以PN/DC，且，又四边形A
4、BCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM/DC，且，所以PN/AM，且PN=AM，故AMNP是平行四边形，所以MN/AP，而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN/平面DAE七、理科附加题1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为解：以D为原点，射线DA、DC、DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，那么P（0,0,1），C（0,2,0），设E（1,y0,0），那么，设平面PEC的法向量为，解之得 ，记，而平面ECD的法向量，二面角P-EC-D的平面角，当时，二面角
5、P-EC-D的平面角为2023届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题二、解答题：（本大题共6个小题，共90分）16 (本小题总分值14分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, A1C1B1D1, E,F分别是AB, BC的中点.(I)求证：EF平面A1BC1；()求证：平面D1DBB1平面A1BC1.A1B1C1ABCD1DEF第15题证明：（）连接AC，那么ACA1C1，而E, F分别是AB, BC的中点，所以EFAC，那么EFA1C1，又平面A1BC1，EF平面A1BC1故EF平面A1BC17分（）因为BB1平面A1B1C1D1, A1C1平面A1B1C1D1所以BB1A1C1，又
6、A1C1B1D1，BB1 B1D1= B1, BB1 ,B1D1平面D1DBB1那么A1C1平面D1DBB1 12分又平面A1BC1，所以平面D1DBB1平面A1BC114分附加题，必做题23在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ACBCAA12，D为侧棱AA1的中点ABCA1B1C1D（第23题）（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；（2）求二面角B1DCC1的平面角的余弦值解：（1）如下列图，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系Cxyz那么C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0， 2，2），ABCA
7、1B1C1DxzyD（2，0，1）所以(2，0，1)，(0，2，2) 2分所以cos即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为4分（2）因为(0，2，0)，(2，0，0)，(0，0，2)，所以0，0，所以为平面ACC1A1的一个法向量 6分因为(0，2，2)，(2，0，1)，设平面B1DC1的一个法向量为n，n（x，y，z）由得令x1，那么y2，z2，n（1，2，2）8分所以cos所以二面角B1DCC1的余弦值为 10分江苏省淮州中学20232023学年度第一学期中考试高三数学试卷15（本小题总分值14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1
8、（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDE;证明：（）设AC于BD交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=AG=1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AFEG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）连接FG。因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.来源:学科网江苏连云港市2023届高三上学期第一次调研考试（数学）数学试题11.如图，三
9、棱柱的所有棱长均等于1，且，那么该三棱柱的体积是 ABCA1B1C1（第11题）答案：BADCFE（第16题）二、解答题16.（本小题总分值14分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，,为的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面证明：（1）设,连接，易知是的中点，是中点在中， 2分GBADCFE平面，平面， 平面 6分（2）平面平面 ,平面平面平面,又平面,又，,平面,10分在中，为的中点，,平面，又平面， 平面平面14分2023届江苏高考数学权威预测题3、半径为1的半球的外表积为 .答案：ABCD二、解答题16、（14分）如图，正四面体ABCD的棱长为3cm（1）求证：ADBC；（2
10、）点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足EP平面ABD，试求点P的轨迹；（3）有一个小虫从点A开始按以下规那么前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率解：（1）取BC中点M，连AM，DM因ABC及BCD均为正三角形，故BCAM，BCDM因AM，DM为平面ADM内的两条相交直线，故BC平面ADM，于是BCAD4分（2）连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM于是EQAD，故EQ平面ABD同理MQ平面ABD因EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，故平面QEM平面ABD，从而点P的轨迹为线段QM
11、8分（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能根本领件总数为34=81 10分走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB，然后走第2条棱为：或BA或BC或BD假设第2条棱走的为BA，那么第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；假设第2条棱走的为BC，那么第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择 12分故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3(3+2+2)=21种可能于是，所求的概率为 14分江苏省2023年高考数学模拟题三、立体几何题4、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中
12、点。 (1)求证：AF平面PCE； (2)求证：平面PCE平面PCD。证明：(1)取PC中点G，连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点，所以FGCD且FG=CD，又AECD且AE=CD，所以，FGAE且FG=AE，四边形AEGF为平行四边形，因此，AFEG，又AF 平面PCE，所以AF平面PCE。(2) 由PA平面ABCD，知PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDAF。又PAAD，F为PD的中点，那么AFPD，因此，AF平面PCD。而AFEG，故EG平面PCD，又EG平面PCE，所以，平面PCE平面PCD。八、空间向量题（理科附加）12、如图，正棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，