1、第 第 第 第 6 6 章章 章章函数的积 函数的积 函数的积 函数的积 分 分 分 分 1 1 定积分的概念 1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积2 2 2 2、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义3 3 3 3、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 曲边梯形曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的
2、面积第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oy1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()(baCxfxba第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分第一步：作划分第一步：作划分第二步：作替代第二步：作替代第三步：求 和第三步：求 和第四步：取极限第四步：取极限第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyab1x1ixix)(xfy 极限过程是什么？如何求精确值？第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分1|max ii nxxl DD01 lim().niiiSfxlxD令曲边梯形的面积极限存在与否与划分 及点 的选择无关.Tix第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分0111 ,ii
3、nnaxxxxxxbLL任意引入分点2.2.2.2.定积分的定定积分的定定积分的定定积分的定义义义义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分设函数 在区间 上有定义，且有界.()f x,a b将区间 分成 个小区间,a bn1,(1,2,)iixxinL用 表示第 个小区间的长度.1,iiixxx1iiixxxDi011()dlim()(max).nbiiiai nif xxfxxlxl DD第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分01lim()niiifxlxD若 存在，且该极限值与对区间 的分法 T 及点 的选择无关，则称函数 在 上可函数 在 上可积积 .()f x,a b,a bix记
4、为 ，极限值称为 在 上在 上的的定积分定积分，记为()(,)f xR a b()f x,a b定积分符号说明：定积分符号说明：.)(limd)(10|DDniiixbaxfxxfx baL L定积分号；()df xxL L被积表达式；()f x L L被积函数；xL L积分变量；,a b L L积分区间；,a bL L积分下限，积分上限；第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyab)(xfy 1A2A3Acd定积分的几何意义定积分的几何意义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 1.计算22220(1)sin;(2).RxdxRx dxpp第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分
5、例例 2.证明狄利克雷函数在 上不可积.0,1第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分常见的可积函数类：常见的可积函数类：闭区间 a,b 上的连续函数；闭区间 a,b 上的单调、有界函数；闭区间 a,b 上的有界函数，且有有限个第一类间断点；第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 3.计算120 x dx第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分3.3.3.3.定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质.d d1 abxxbaba性质 性质 1 1,d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf性质 性质 2 2 （线性性（线性性质）质）式中 为常数式中 为常数,第 第 6
6、 章 函数的积分章 函数的积分bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)().acb性质 性质 3 3（对区间的可加性）（对区间的可加性）.d)(d)(abbaxxfxxf 规定0d)(aaxxf第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分.0d)(,0)(baxxfbaxxf则若性质性质 4 （保号（保号性）性）Oxyab0)(xfy第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 ()(),f xg xxa b，()d()d .bbaaf xxg xx推论推论1 1若若，则，则推论推论2 2babaxxfxxfd|)(|d)(|Oxyab)(xfy|()|yf x第 第 6 章 函数的积分章 函数
7、的积分 设 分别是函数 在 上的最大、小值，则有,M m .)(d)()(abMxxfabmba性质性质 5 5（估值定（估值定理）理）,M m ,a b ()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 4.估计 的值.210 xedx第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分241sin2 d.22xxxpp0.baf xx()(,),f xCa b性质性质 7 7 设 在 上非负且不恒等于零，则 ,a b()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分()d0,baf xx 例例 7.设 且 若 ()0.f x ()(,),f xC a b()0,.f xxa b证明：第 第 6
8、章 函数的积分章 函数的积分 第 第 6 章章 函数的函数的积积分 分 1 1 定积分的概念 1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积2 2 2 2、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义3 3 3 3、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质 曲边梯形曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积Oy1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()
9、(baCxfxba第一步：作划分第一步：作划分第二步：作替代第二步：作替代第三步：求 和第三步：求 和第四步：取极限第四步：取极限Oxyab1x1ixix)(xfy 极限过程是什么？如何求精确值？1|max ii nxxl DD01 lim().niiiSfxlxD令曲边梯形的面积极限存在与否与划分 及点 的选择无关.Tix0111 ,iinnaxxxxxxbLL任意引入分点2.2.2.2.定积分的定定积分的定定积分的定定积分的定义义义义设函数 在区间 上有定义，且有界.()f x,a b将区间 分成 个小区间,a bn1,(1,2,)iixxinL用 表示第 个小区间的长度.1,iiixxx
10、1iiixxxDi011()dlim()(max).nbiiiai nif xxfxxlxl DD01lim()niiifxlxD若 存在，且该极限值与对区间 的分法 T 及点 的选择无关，则称函数 在 上可函数 在 上可积积 .()f x,a b,a bix记为 ，极限值称为 在 上在 上的的定积分定积分，记为()(,)f xR a b()f x,a b定积分符号说明：定积分符号说明：.)(limd)(10|DDniiixbaxfxxfx baL L定积分号；()df xxL L被积表达式；()f x L L被积函数；xL L积分变量；,a b L L积分区间；,a bL L积分下限，积分上
11、限Oxyab)(xfy 1A2A3Acd定积分的几何意义定积分的几何意义例例 1.计算22220(1)sin;(2).RxdxRx dxpp解：解：222220(1)sin0;(2).4RxdxRx dxRppp当 为 中的有理点时，ix1,iixx01 2(),.iDinxL任给 的一个划分 ，012101nnxxxxxL0 1,例例 2.证明狄利克雷函数在 上不可积.0,1证明证明：黎曼和10(),niiiDxxD010lim().niiiDxlxD从而01,(),xQD xxQ 由定积分定义知狄利克雷函数在 上不可积.0,1而当 为 中的无理点时，ih1,iixx11 2(),.iDin
12、hL黎曼和11(),niiiDxhD011lim().niiiDxlhD从而常见的可积函数类：常见的可积函数类：闭区间 a,b 上的连续函数；闭区间 a,b 上的单调、有界函数；闭区间 a,b 上的有界函数，且有有限个第一类间断点例例 3.计算120 x dx解：解：由 故0 1()(,),f xC0 1()(,).f xR因定积分值与划分及点 的取法无关，对 作 n 等划分，ix0 1,分点 其区间长度 ，0 1(,),iixinnL1ixnD取1 2(,),iiinnxL则有122001limniiix dxxlxD211lim()nniinn 31 216()()limnn nnn+13
13、3.3.3.3.定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质.d d1 abxxbaba性质 性质 1 1,d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf性质 性质 2 2 （线性性（线性性质）质）式中 为常数式中 为常数,+bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)().acb性质 性质 3 3（对区间的可加性）（对区间的可加性）.d)(d)(abbaxxfxxf 规定0d)(aaxxf.0d)(,0)(baxxfbaxxf则若性质性质 4 （保号（保号性）性）Oxyab0)(xfy ()(),f xg xxa b，()d()d .bbaaf xxg xx推论推论1 1若若
14、，则，则推论推论2 2babaxxfxxfd|)(|d)(|Oxyab)(xfy|()|yf x+设 分别是函数 在 上的最大、小值，则有,M m .)(d)()(abMxxfabmba性质性质 5 5（估值定（估值定理）理）,M m ,a b ()f x例例 4.估计 的值.210 xedx解：解：20 110,.xx Q2101,xeeeQ2101 1.xedxe241sin2 d.22xxxpp例例 5.证明：证明证明：因为则 tan.xx由 ,4 2,xp p令 ,sin()xf xx22cos)tan(sincos)(xxxxxxxxxf0且222 ,42(),()Mfmfpppp故
15、 ,42(),f xpp.22)42(22dsin)42(221 240.baf xx()(,),f xCa b性质性质 7 7 设 在 上非负且不恒等于零，则 ,a b()f x()d0,baf xx 例例 7.设 且 若 ()0.f x ()(,),f xC a b()0,.f xxa b证明：设 不恒等于 0，则至少 使()f x0,xa b$00().f x,()(,)f xC a b由0 0,.()U()f xxx使得可知0 ,U()x$0.()df xx则取0,U()x 又0 0 ()d,()d,baf xxf xx证明证明：.0d)(d)(d)(d)(+babaxxfxxfxxf
16、xxf故有结论与已知条件 矛盾()d0 baf xx 0 .(),f xxa b该矛盾说明：第第第第 6 6 章章章章 函数的积分函数的积分函数的积分函数的积分2 2 定积分的基本定理 1 1 1 1、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数2 2 2 2、微积分基本公式、微积分基本公式、微积分基本公式、微积分基本公式第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分定义定义 1 设I为某个区间，若 ，对I上的可导函数 ，有xI()F x1 1 1 1、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数 ()(),F xf x=则称 为函数 在区间I上的一个原函数原函数.()F x()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分则 是 在 I 上的所有原函数.()F xC+()f x 设 为 函数 在区间 I 上的一个原函数，定理定理 1()F x()f x其中 为任意常数.C第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分(1)函数的原函数加上任意一个常数仍为该函数的原函数；结论结论：(2)函数的任何两个原函数