1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新第 二 章 极 限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。第 二 章 极 限第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则.)(为定义域的函
2、数是以正整数集设Znf ,)(|)(NnnfxxZffnn的值域将 ,增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数：,21nxxx称为一个数列,记为 xn.1.定义一、数列及其简单性质 数列也称为序列公式法图示法表格法 运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1,2 ,8 ,4 ,2 :2 )1(nn.2 :nnx 通项xnx2x1n214121x0 x381 ,21,81,41,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通项011nx212nxx,)1(,1,1 ,1,1 :)1()3(11nn.)1(:1nnx通项xn1211M3x1xnx2x4
3、x212 nx 0,)1(1,31 ,0 ,21 ,0 ,1 ,0 :)1(1 )4(nnnn.)1(1 nxnn通项：1xnx3x2x1x02132431nn ,1 ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项3.数列的性质单调性有界性则称满足若 ,21nnxxxx(1)数列的单调性.,nnxx记为严格单调增加则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx也记为单调增加数列单调减少的情形怎么定义？有谁来说一说.则称满足若 ,21nnxxxx.nnxx记为严格单调减少则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx也记为单调减少严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加
4、(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？,|)(|,I ,0 成立有时使得当若MxfxM .I )(上有界在区间则称函数xfOxyMMMy My()I)(xfy ,|,0 成立使得若NnMxMn.是无界的否则称有界则称数列nnxx数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：|xn|0,不论它的值多么小,当 n 无限增大时,数列 xn 总会从某一项开始,以后的所有项都落在 U(0,)中.0 010)1(|0|nnnx ,0 N（在 U(0,)外面只有有限项）,时当Nn 0 010)1(nn
5、 ,0 N ,时当Nn:010)1(limnnn其中,是描述点 xn 与点 0 无限接近的0度量标准,它是预先任意给定的,与xn的极限存在与否无关.,本身取决于数列是否存在nxNNN ,;,则数列无极限存在则数列有极限不存在.,NN所有大于则其不唯一存在如果 ,.有关与并且的正整数均可取作为NN ,),(则值越小一般说来可记为NN .的值越大N由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0,N=N().不等式010)1(nn称为目标不等式.limaxnn一般地,如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限,记为xn 可以无限地趋近某个常数
6、 a,则称数此时,也称数列是收敛的.例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001若 xn 当 n 时没有极限,则称 xn 发散.,0若,0N时,使当 Nn|axn记为,limaxnn或.)(naxn此时,也称数列 xn 是收敛的.,时的极限当为数列则称数成立nxan数列极限的定义：例5.021lim nn证明：证证,0021 n由.021limnn 021 nn2112 n1log2 n,1log,0max2N故取则 n N 时,由极限的定义,得).1|(0lim aann一般有例6.0sin1lim nnn证明：证证,0,0sin1 nn要,1 sin 1 nnn只要,1 时则
7、当故取NnNnnnnn1 sin 1 0sin1 成立.由极限的定义可知:.0sin1limnnn.,不唯一时利用极限存在N,1n即例7.lim ,:aaaaaxnn证明设证证,0有时则当取 ,1 NnN0|aaaxn.lim .aan故由极限的定义可知：成立 通常说成：常数的极限等于其自身.,1)1(lim ,55limnn例8.|lim ,lim :axaxnnnn则若证明证证,0 0,lim Naxnn所以因为.|,axNnn有时当由绝对值不等式,得,|axaxnn.|lim axnn故有注意：该例题结论的逆命题不真.例如,(1)n.例9证证 .,lim ),12(lim ),2(lim
8、 Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中则满足证明：如果 ,0 ,0 ,)2(lim 11时当由NnNmnaxnn,0 ),12(lim 22时当由NnNmnaxnn);2(|mnaxn ,)12(|mnaxn,|,max 21axNnNNNn恒有时则当取 .lim axnn故由极限定义得：逆命题成立吗？例10证证 .1lim:,1,1 nnnxnnnnnnx证明为奇数当为偶数当设 ,0 ,1 1 ,11 nnnnnn即要要 ,1 11有为偶数时则当故取nNnN ;11 nn ,1 1 ,11 ,nnnnnn即要要同理 ,1 22有为奇数时则当故取nNnN ;11 nn ,max 21时
9、则当取NnNNN 11 与nn ,11 同时成立nn ,|1|,即成立时当所以nxNn .1limnnx若数列 xn 收敛,则其极限值必唯一.想想,如何证明它？设数列 xn 收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证证运用.,lim ,limbabxaxnnnn ,0 ,于是;|,0 11axNnNn时当;|,0 22bxNnNn时当,max 21时则当取NnNNN2|bxaxbxxabannnn任意性常数由 的任意性,上式矛盾,故 a=b.lim axnnnx的任何一个子数列都收敛,且均以 a 为极限.充分必要条件 在数列 xn:x1,x2,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷
10、多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为.knx例11.)1(lim 1nn求解解,)1(1nnx.,)1(,1,1 ,1,1 :1nnx取子数列：,)1(,1,1,1,:1)1(212nnx ,)1(,1,1,1,:122nnx,1)1(limlim ,11limlim 212nnnnnnxx而.)1(lim 1不存在故nn例12.8sin 的敛散性判别nxn解解利用函数的周期性,在 xn 中取两个子数列:,sin ,2sin ,sin :sin 8sin kkn.00limsinlim ,0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin :)2sin(2 8sin kk
11、n.11lim)22sin(lim nnk此时.)(8sin :即极限不存在是发散的故由推论可知n:limaxnn有时当 ,0,0 NnN|axn|axaxnn|axn,则似乎可以得到如果固定?有界的结论nx 回想数列的极限 若数列 xn 收敛,则 xn 必有界.证证1,limaxnn设则由极限定义,取时,0N,时当Nn 1|axn|1|axn即有|,|,|,|,|1max 21NxxxaM取则NnMxn ,|由数列有界的定义得：数列 xn 收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,(1)n.即 无界数列的极限不存在.例13 ,2 ,8 ,4 ,2:2nn ,8 ,0 ,
12、4 ,0 :)1(1(nn无极限发散无界,无极限发散无界,发散的数列不一定都无界.例如,(1)n .收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.)1(:nnx反例:limaxnn有时当 ,0,0 NnN|axnaxn 即axan?,论你认为可能得到什么结由此 回想数列的极限 ,0 ),0(0 ,lim Naaaxnn则若).0(0 ,nnxxNn有时当证证,0 ,lim 则由极限的定义且设aaxnn有时当时取 ,0 ,02 NnNa,2|aaxn由绝对值不等式的知识,立即得.20nxaa ,)0(0 nnxx若 ,lim 存在且axnn.)0(0 aa则这里
13、为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明 ,),0 ()(00时当或若NnNNnyxyxnnnn则存在且 ,lim ,lim byaxnnnn.)limlim(limlimbyxabyxannnnnnnn高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新第 二 章 极 限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量
14、的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.11 收敛证明数列nn证证由中学的牛顿二项式展开公式321!3)2)(1(1!2)1(1!1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1!)1()1(nnn2111!3111 2111！,112111!1nnnnn例例1类似地,有11111nnnx 111121111!1nnnnn 11121111!)1(1nnnnn121111!31111 2111nnn！
15、除前面的展开式可以看出与比较 ,1nnxx并且的对应项的每一项都小于两项外,1nnxx因此一项还多了最后的大于零的 ,1nx1nnxx.是单调增加的即nxnnnxn2111!3111 2111！112111!1nnnnn又!1!31!2111n1221212111n,321321121111nn 等比数列求和 放大不等式 .有界从而nx每个括号小于 1.综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它记为 e,即.11limennne 称为欧拉常数.590457182818284.2e.ln :,xye记为称为自然对数为底的对数以!1!31!21!111
16、nnnee的计算公式为.10 ,其中 欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂