1、第 第 第 第 2 2 章章章章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例 1.,131211n，12310 100 10000 nxn0.1 0.010.0001 1 0.5 0.33.213141516101 0无穷数列 无穷数列 xn :1 1 数列极限的概念数列极限的概念 x1,x2,xn,.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 ,)1(1 ,54 45 32 ,23 0nn，例例 2.1 2 3 4 5 10 11 100 101 nxn1.10 1.51.25 0.81.010.9090.0.9900.0.66236745325402761 1第 第 2 章
2、函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限,21,814121n，例例 3.例例 4.0.3，0.33，0.333，0.333,n 个31 0 给定数列 xn,当 n 无限增大时,xn 无限地趋近于某一个常数 a.称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛,记为.limaxnn,01limnn,1)1(1limnnn,021limnn一尺之棰,日取其半,万世不竭.(庄子 天下篇).31)103103103(lim2nn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 5.1，3，5，2n 1，随 n 无限增大数列的项也无限增大,不会趋于任何常数,数列没有极限.例例 6.1，1，1，1
3、，(1)n+1，正负交错取 1.n 无限增大时,数列不趋于任何常数,数列没有极限.并非任何数列都有极限.数列若无极限,则称其发散发散.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限当 n 无限增大时,xn 无限趋近于 a当 n 充分大时,xn a 可以任意地小当 n 无限增大时,xn a 无限变小任意给定一个很小的数，当 n 大到一定程度时,就有 xn a 小于这个数数数列列极极限限定定义义的的描描述述第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限任意给定一个很小的数，当 n 大到一定程度时,就有 xn a 小于这个数.nxnn1)1(1 则 n 10 时(从 n=11 起
4、)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限nxnn1)1(1则 n 10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.00
5、01100001 任意给定一个很小的数 任意给定一个很小的数 ,总存在一个总存在一个 N,当 当 nN 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a N 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a ,则称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛.记作,limaxnn或 xn a(n ).第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 xn a xn a 即 a xn 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|,则则.limaxnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数
6、 的 极 限限例例 1 证明 .11limnnn例例 2 证明 .021limnnqqnn,0lim 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|0,使对一切 xn 满足|xn|M.定理 定理 2 2(有界性有界性)若若 xn 收敛收敛,则则 xn 有界有界.定理 2 的逆命题不成立,即有界的数列不一定收敛.例如 xn=(1)n+1 有界,但它是发散的.推 论推 论 无界的数列一定发散无界的数列一定发散.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 从数列 x1,x2,xn,.中按下标由小到大的顺序任意选取无穷多个项 构成的一个新数列 称为 xn 的一个子数列.,21k
7、nnnxxxknx 中的 k 表示它是子列中的第 k 项，表示它是原数列中的第 项,显然 n1n2,且对所有的 k 有 nk k.knxknkn定理 定理 3 3 .lim,limaxxaxkknknnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理定理 4 4(数列收敛准则一数列收敛准则一)数列 xn 、yn 、zn ，若 （1）N 0，当 nN 时，有 yn xn zn，（2），则 .azynnnnlimlimaxnnlim例例 1.证明112111lim222nnnnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 单调递增有上界的数列和单调单调递增有上界的数列和
8、单调递减有下界的数列一定有极限递减有下界的数列一定有极限.定理 定理 5 5(数列收敛准则二数列收敛准则二)x2x1Mx3xx4有界数列：有界数列：M 0,使对一切 xn 满足|xn|M.有 上 界有 上 界:K1,使对一切 xn 满足 xn K1.有 下 界有 下 界:K2,使对一切 xn 满足 xn K2.单调数列单调数列：单调递增单调递增:x1 x2 xn xn+1.单调递减单调递减:x1 x2 xn xn+1 .第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 2.证明数列 收敛.nn11e)11(limnnn记可以证明 e 为一无理数，其值为e=2.71828182845
9、9045 1101001000100001000002 2.59374 2.70481 2.716922.71815 2.71827.n(1+1n)n第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限数列：n:1 2 3 n xn:x1 x2 x3 xn xn=f(n)nZ+(整标函数)3 3 函 数 的 极 限函 数 的 极 限1.x 时,f(x)的极限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 1.01lim 1nnxnn，11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xOy考虑函数xy101limxx有xy1另外：01limxxny1第 第 2 章 函 数 的 极
10、章 函 数 的 极 限限 定义 1.若 0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,N Z+,使得当 n N 时,对一切 xn都有|xn a|0,总 X 0,使得当|x|X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 x 时的极限,记作.)(limaxfx由定义 1,2,3 可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限axyOa+a XXy=f(x)一般地,若 ，则函数 y=f(x
11、)的图形有水平渐近线 y=a.axfaxfxx)(lim)(lim或|f(x)a|a f(x)X x X,x X 第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限再如,y=arctan x 有xyO22y=arctan x,2arctan limxx,2arctan limxx.arctanlim不存在而xxxy1y=exO比如 y=e x 有,0elimxx例例 3.证明.2121lim33xxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限2.x x0 时,f(x)的极限例例 4.设 f(x)=x2+1,观察它在 x=0 点附近 x0 的变化.xf(x)0.1 0.01
12、0.001,1.01 1.0001 1.000001,y=x2+1.1)1(lim20 xx有O1xyxxf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 一般地 是指当 x 无限趋于 x0时,对应的函数值 f(x)无限趋近于 a.f(x)a 可用|f(x)a|刻画,而 x x0则可用|x x0|刻画.axfxx)(lim0描述?例例 5.设 f(x)=x2+1,x0，0,x=0，观察它在点 x=0 附近 x0 的变化.yy=f(x)O1xx x0改用 0|x x0|0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应
13、的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 xx0 时的极限.记作0|xx0|x(x0,x0+).|f(x)a|a f(x)0,0,使得当 0 x x0 0,0,使得当 0 x0 x 0,0,x=0,x1,x 0,使得 f(x)在(x0,)内有界.,)(lim存在若xfx定理定理 33则 X 0,(X,+)和(,X)内均有界.使得 f(x)在第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限),0(0,)(lim0aaaxfxx且若定理定理 4 4.(保号性保号性)则 0,当 x(x0,)时,有f(x)0(f(x)0(f(x)0,使得),0(0,limaaaxnn且
14、若定理定理 4 4 .当 n N 时,有 xn 0(xn 0,使得第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限1.无穷小量4 无穷小量与无穷大量在 x 的某个变化过程(x x0 或 x 等)中，若 lim f(x)=0，则称 f(x)为该变化过程中的无穷小无穷小(量).定义 1.设 f(x)在 x0 的某个去心邻域(x0)内有定义.若 0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)|0，使得 f(x)在(,X)(X,+)内有界，则称 f(x)是 x 时的有界量.比如 y=x2在(,+)内无界,但在 x=0 的附近是有界的.因此,y=x2是 x0 时的有界
15、量.y=x20 xyMOyxxy1.01时的有界量不是 xxy第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理 定理 3.3.有界量与无穷小之积为无穷小.例 例 1.01sinlim0 xxx这是因为 x,而x1sin1的缘故.xyOxxy1sin同理：.0sinlimxxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限推论推论 1 1：常数与无穷小之积是无穷小；有限个无穷小之积是无穷小.以 xx0 的情形为例.设 C 为一常数,(x)和(x)是无穷小,则 C(x)和(x)(x)都是无穷小.第 第 2 章 函 数 的
16、 极 章 函 数 的 极 限限第 第 第 第 2 2 章章章章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.无穷大量在 x 的变化过程中(xx0 或 x 等),若 f(x)的绝对值无限增大,则称 f(x)为该变化过程中的无穷大无穷大(量).例如：x 时，1xy 为无穷大；yxOxy1例如：n 时，n2 为无穷大.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定义 定义 2 2：若 0(无论多么大)，总 0,使得当 0|x x0|M，则称 f(x)是 x x0 时的无穷大.定义 定义 22 若 0(无论多么大)，总 X 0，使得当|x|X 时，有|f(x)|M，则称 f(x)是 x 时的无 穷大.)(limxf无穷大常记作：正无穷大+负无穷大 数列情形？第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限.11lim1xx证明例例 2Oyx11xy1例例 3 亦可证明;tanlim ,tanlim ,tanlim )3(222xxxxxx ;0lim ,lim )1(xxxxee .lnlim ,lnlim )2(0 xxxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极