1、(V?V?1.2V?Nu“O?2019/09/23u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/231/36?(V?V?SN1(V?2V?u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/232/36(V?V?(V?I?;I I AI*u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/233/36(V?V?;?m,e(1)k?:;(2)z?:y?U5?KA?VP(A)=|A|u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/234/36(V?V?5PHL?,TL.1L?qM1g?m,2L?qM1g?m,K1=(HH),(HT),(TH),(TT)?z?:?u)?U?.2=2H,2T
2、,1H1T?:?U?.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/235/36(V?V?1BIO?k52|,k4s,13.ylB?,?;?V.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/236/36(V?V?).5?BIO?k13;,52?U5?.?AL/?;0,Kd?;,Au)?VP(A)=|A|=1352=14.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/237/36(V?V?|?n?|K?n?n.I?Prn=n!(n r)!=n(n 1)(n r+1)I-E?nrI|Crn=Prnr!=n!r!(n r)!I-E|Crn+r1u“O?(N)V I Vm I V?2
3、019/09/238/36(V?V?|?n?|K?n?n.I?Prn=n!(n r)!=n(n 1)(n r+1)I-E?nrI|Crn=Prnr!=n!r!(n r)!I-E|Crn+r1u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/238/36(V?V?f?.?.(J-EEE?k,gSkO,fnr?,gSkO,zPrn|,gSO,zCrn-EEE|k,gSO,fCrn+r1u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/239/36(V?V?f 2r?nf,:I?rfk?VI?rfk?VI?fTkk?Vu“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2310/36(V?V?)
4、.?.K,f,?-E?K.u,?VgAr!nr,Prnnr,Ckr(n 1)rknru“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2311/36(V?V?8?,?B,?:em n,Cmn=0.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2312/36(V?V?gKr?nf,:I?rfk?VI?rfk?VI?fTkk?Vu“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2313/36(V?V?3n?S!?V.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2314/36(V?V?).kKkn 1?“?”k,P(A)=2n 1.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09
5、/2315/36(V?V?4n,!0.L(A)LA?.(2)z?:3,f?VT?,?/G.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2320/36(V?V?AAu)?VP(A)=L(A)L().u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2321/36(V?V?A;.fI?KI KI Buffon?Ku“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2322/36(V?V?K 5,?L,?5,3d?T?mL3?V.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2323/36(V?V?).?Llc?mmOm,?.u,?mL=:(0,5.-AL/L30,KA=:2 5.?
6、Au)?VP(A)=L(A)L()=35.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2324/36(V?V?K 6?u8:9:m3,/,k?20=l?.?V.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2325/36(V?V?).l8:mO,?O?/?Oxy,K(x,y)U?u=(x,y):0 x 60,0 y 60.?AL/?0,KA=(x,y):|x y|20.O?Au)?VP(A)=L(A)L()=602 402602=59.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2326/36(V?V?Oxyy x=20 x y=2020602060Au“O?(N)V I
7、 Vm I V?2019/09/2327/36(V?V?Buffon?7xkld?|1?l(l d)?,?1?V.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2328/36(V?V?).?xL?:?C?1?l,L?d1?,X.0 xy20206060Ax y=20y x=20dxlu“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2329/36(V?V?).?xL?:?C?1?l,L?d1?,X.0 xy20206060Ax y=20y x=20dxlu“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2329/36(V?V?Buffon?(Y)u,?L=?(x,):0 x d2,0
8、?.-AL/?1?0,KA=?(x,):0 x l2sin,0?.OA?Au)?VP(A)=L(A)L()=Z0l2sindd2=2ld.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2330/36(V?V?Buffon?(Y)u,?L=?(x,):0 x d2,0?.-AL/?1?0,KA=?(x,):0 x l2sin,0?.OA?Au)?VP(A)=L(A)L()=Z0l2sindd2=2ld.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2330/36(V?V?Monte-Carlod(V?,?gnv?,VP(A)mnO“,udmn2ldO?2nldm.u“O?(N)V I
9、 Vm I V?2019/09/2331/36(V?V?(J?m?g?g?CqWolf1850c500025323.1596Smith1855c32041218.53.1554De Morgan1860c600382.53.137Fox1884c10304893.1595Lazzerini1901c340818083.1415929Reina1925c25208593.1795u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2332/36(V?V?*8*(V?f.(1),?e?F,|?d?V0.9,T?i?$EG?)?*V.(2),P“,)L?V0.3,TP“L)S?)?.(3),?0?S
10、,deO?V0.1,uTI1?(.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2333/36(V?V?V?nz(Komogorov)1VVV?nnnzzz?P()3F?,XJvenn:(1)KKK555nnn:P(A)0(2)?KKK555nnn:P()=1(3)?555nnn:eA1,.,An,.pN,KP Xn=1An!=Xn=1P(An).KP()VVVVVV.u“O?(N)V I Vm I V?2019/09/2334/36(V?V?9?=H,T,F=2=,H,T,?p:0 p B)=P(n+1 C n D)=P(C 1 D)=1 P(A B),1o?d?,?A?M1?5.?P
11、(A B)=0.5.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3011/31V?5V?Y5?V?.7P(A)=P(B)=P(C)=14,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=112,A,B,Cu)?V.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3012/31V?5V?Y5?V?.).dV?N5ABC AB,P(ABC)P(AB)=0,udV?K5,P(ABC)=0.d,VP?A B C?=P?A B C?=1 P(A B C)=1 P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=1?14+14+14 0 112112+0?=512.u“O?(
12、N)V I Vm I V?52019/09/3013/31V?5V?Y5?V?.).dV?N5ABC AB,P(ABC)P(AB)=0,udV?K5,P(ABC)=0.d,VP?A B C?=P?A B C?=1 P(A B C)=1 P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=1?14+14+14 0 112112+0?=512.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3013/31V?5V?Y5?V?.?n 2/,en 1,A1,.,An F,KP nk=1Ak!=nXk=1P(Ak)XijP(AiAj)+XijkP(AiAjAk)+(1)n1P
13、(A1A2.An).u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3014/31V?5V?Y5?V?.N?1?An,n 1F?,(1)eA1 A2 An.,=An,n 1N?,PlimnAn=n=1An;(2)eA1 A2 An.,=An,n 1NO?,PlimnAn=n=1An.limnAn?An,n 1?444.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3015/31V?5V?Y5?V?.N?1?An,n 1F?,(1)eA1 A2 An.,=An,n 1N?,PlimnAn=n=1An;(2)eA1 A2 An.,=An,n 1NO?,PlimnAn=n=1An.li
14、mnAn?An,n 1?444.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3015/31V?5V?Y5?V?.N?1?An,n 1F?,(1)eA1 A2 An.,=An,n 1N?,PlimnAn=n=1An;(2)eA1 A2 An.,=An,n 1NO?,PlimnAn=n=1An.limnAn?An,n 1?444.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3015/31V?5V?Y5?V?.8?Y.23F?8()(1)eeeYYY?,eN?An,n 1v?limnAn?=limn(An);(2)YYY?,eNO?An,n 1v?limnAn?=limn(An)
15、.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3016/31V?5V?Y5?V?.8?Y.23F?8()(1)eeeYYY?,eN?An,n 1v?limnAn?=limn(An);(2)YYY?,eNO?An,n 1v?limnAn?=limn(An).u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3016/31V?5V?Y5?V?.V?Y5n 3?P3F?V,=vK5!?K5?5nn?8,KPeY?Y?.u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3017/31V?5V?Y5?V?.y.kyeY5.?A1 A2 An.,PB1=A1,Bn=AnAn1,n=2,3
16、,.,KBn,n 1F?pN?,limnAn=n=1An=Xn=1Bn,nk=1Ak=nXk=1Bk,n 1.u,dV?95,P?limnAn?=P Xn=1Bn!=Xn=1P(Bn)=limnnXk=1P(Bk)=limnP nXk=1Bk!=limnP(An).u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3018/31V?5V?Y5?V?.y.kyeY5.?A1 A2 An.,PB1=A1,Bn=AnAn1,n=2,3,.,KBn,n 1F?pN?,limnAn=n=1An=Xn=1Bn,nk=1Ak=nXk=1Bk,n 1.u,dV?95,P?limnAn?=P Xn=1Bn!=Xn=1P(Bn)=limnnXk=1P(Bk)=limnP nXk=1Bk!=limnP(An).u“O?(N)V I Vm I V?52019/09/3018/31V?5V?Y5?V?.2yY5.?A1 A2 An.,KA1 A2 An.u,?An,n 1AV?eY5,P?limnAn?=P n=1An!=1 P n=1An!=1 limnP?An?=1 limn(1 P(An)=limnP