1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二十六讲 定积分的计算脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几
2、何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定积分的换元法和定积分的分部积分法.例1解 .d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函=ttxxdcosd1 22 sin tx=令tt d)2cos1(21+=Ctt+
3、=42sin2Cxxx+=21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 .4 1 21arcsin21d1 1021 0 2=+=xxxxx例1解 .d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函=ttxxdcosd1 22 sin tx=令tt d)2cos1(21+=Ctt+=42sin2Cxxx+=21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 .4 1 21arcsin21d1 1021 0 2=+=xxxxx10 x20t=2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1(212 0 +=20 42sin2+=tt .4=有什么想法没有？就是说
4、，计算定积分时可以使用换元法.换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼兹公式便可得到定积分的结果.一、定积分的换元法定理 ;),()()1(baCxf设且单调；),()()2(1Ctx=，ba=)()()3(.d)()(d)(=tttfxxfba则证 .)(3 )2(btat时，有可知：当）（和由条件 .,)(),()(上有原函数存在在，所以，因为baxfbaCxf .,)()(上的一个原函数在为不妨设baxfxF 2，得）（及条件由复合函数的求导法则 ,)()()()()(=tttfttFtF .)()()(的一个原函数为即ttftF 莱布尼兹
5、公式，得由牛顿 )()()(d)()(FFtFtttf=)()(aFbF=.d)(=baxxf证毕例2解 .1 d 53 21 2 xxx计算 dd 1 2，则令ttxtx=35 2 :53 21 :，故时，且tx=35 2 253 21 2 1d 1 dttxxx=2 35 2 1d tt2352|1|ln+=tt .3ln)32ln(+=例3解 .d 0 22axxa计算 dcosd sin ，则令ttaxtax=2 0 :0 :，故时，且tax .2 ,0 sin上单调、连续可导在tax=2 0 22 0 22dcosdttaxxaa d)2cos1(22 0 2+=tta202 )22
6、sin(2tta+=.42a=例4解 .d)1(arcsin 43 41 xxxx计算 dcossin2d sin arcsin 2，则令tttxtxtx=的单调性保证 )(tx=3 6 :43 41 :，故时，且tx )sin1(sin dcossin2 d)1(arcsin 3 6 2243 41=ttttttxxxx=3 6 d 2tt362 t=12 2=例5解 .1d 2 2 2xx计算 dtansecd sec ，则令tttxtx=.2 sec 0 ttx中，故因为 43 32 :2 2 :，故时，且tx tan dsectan 1d43 32 2 2 2=ttttxx dsec
7、43 32=tt4332|tansec|ln tt+=.2132ln+=例6 .dcosdsin 2 0 2 0 =xxxxnn证明：证 dd 2 ，则令txtx=0 2 :2 0 :，故时，且tx )d()12(sindsin0 2 2 0 =txxnn dcos 0 2=ttn dcos2 0 =ttn .dcos2 0 =xxn例7证 ),()(，证明：设aaCxf .d)(2d)()()1(0 =aaaxxfxxfxf为偶函数，则 .0d)()()2(=aaxxfxf为奇函数，则 ,d)(d)(d)(0 0 +=aaaaxxfxxfxxf因为 0:0:dd ，从而时，且，则故令=ata
8、xtxtx=0 0 )d)(d)(aattfxxf=attf 0 d)(.d)(0 =axxf .d)()(d)(d)(d)(0 0 0 +=+=aaaaaxxfxfxxfxxfxxf于是，故有为偶函数，则若)()()()1(xfxfxf=.d)(2d)(0 =aaaxxfxxf，故有为奇函数，则若)()()()2(xfxfxf=.0d)(=aaxxf .d)()(d)(d)(d)(0 0 0 +=+=aaaaaxxfxfxxfxxfxxf例8证 .),()(证明：，且以为周期设+Rxf .d)(d)(0 =+TTaaxxfxxfRa，有 ,d)(d)(d)(d)(0 0 +=TaTTaTaa
9、xxfxxfxxfxxf因为 0:dd ，从而时，且，则故令atTaTxtxTtx+=+=d)(d)(0 +=+aTaTtTtfxxf d)(d)(0 0 =aaxxfttf d)(d)(d)(d)(0 0 0 +=+aTaTaaxxfxxfxxfxxf于是 d)(d)(d)(0 0 0 +=aTaxxfxxfxxf.d)(0 =Txxf例9解 .cos1 dsin 0 2+xxxx计算 0 :0 :dd ，故时，则令=txtxtx cos1)d(sin)(cos1 dsin 0 2 0 2+=+ttttxxxx cos1dsin cos1dsin 0 2 0 2+=ttttttt cos1d
10、sin cos1dsin 0 2 0 2+=xxxxxxx+=+0 2 0 2cos1dsin 2cos1dsin xxxxxxx从而 .4)arctan(cos(220=xxucos=二、定积分的分部积分法定理 ,)()(上可导，在，设函数baxvxu ),()()(，则，且baRxvxu .d)()()()(d)()(=bababaxxvxuxvxuxxvxu .部积分公式该公式称为定积分的分证明与不定积分的情形类似.例10解 .dcos 0 xxex计算xcosxexexsin dsin cosdcos2 0 20 2 0 +=xxexexxexxx dsin12 0 +=xxexxsi
11、nxexexcos dcos sin12 0 20 +=xxexexx dcos12 0 2+=xxeex .)1(21dcos 22 0 =exxex故什么情况下运用分部积分法呢？定积分与不定积分的情形相同！例11解 .d|ln|1 eexx计算+=eeeexxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln(d|ln|xln1x1x+=eeeexxxxxx 1 1 1 1 11dlnd ln .)11 (2e=例12证=2 0 2 0 dcosdsin xxxxInnn证明：.,!)!1(,2!)!1(为正奇数为正偶数，nnnnnn=dsin 2 0 ，则令=xxInnxn 1sinxsin
12、xxnncossin)1(2xcos2 0 12 0 sincosdsinxxxxInnn=+2 0 22dcossin)1(xxxnn=2 0 2 0 2dsin)1(dsin)1(xxnxxnnn .)1()1(2nnInIn=.1 2=nnInnI故 ,1 cosdsin ,2d 2 0 2 0 12 0 0=xxxIxI由于 ，所以 ;2!)!1(2143231 0=nnInnnnInn为正偶数时，当 .!)!1(3254231 1nnInnnnInn=为正奇数时，当 .dcosdsin 6 2 0 2 0 =xxxxnn中已证明：在例证毕例13解 .dsin 2 0 6xx计算 2!
13、6!)!1(6dsin2 0 6=xx .3252246135=例14解 .,d)1(1 0 2+Znxxn计算,dcosd ,sin ttxtx=则令故时且 ,20 :,10 :tx=2 0 21 0 2dcoscosd1tttxxnn）（+=2 0 12dcosttn .!)!12(!)!2(+=nn例15解 .d4 2 0 22xxx计算,dcos2d ,sin2 ttxtx=则令故时且 ,20 :,20 :tx dcos2cos2sin4d42 0 22 0 22=ttttxxx d)sin1(sin 162 0 22=ttt dsin 16dsin 162 0 42 0 2=tttt
14、 .2!4!)!14(162!2!)!12(16=三、定积分的近似计算由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对这样的函数作定积分运算时就十分难办了.于是我们需要寻找定积分的近似计算方法.定积分的近似计算方法大多数是依据定积分的定义 ,)(limd)(10|=niiixbaxfxxf因为 ,)0 ,0|(|d)()(1+=时xxxfxfbaniii所以 ,|有精度确定）很小时（根据所要求的故当x .)(d)(1 =niiibaxfxxf和定积分的几何意义得到：的选择无关，和点由于定积分的值与分法iT ,进行等
15、法时，常将区间所以在构造近似计算方ba 也选的小区间；点个长度均为分，得到inabn 0|的极点，这样就将择为小区间的左或右端x .的极限过程限过程转换为+n .的“数值方法”方法均属于数学分析中常用的定积分近似计算下面介绍的工程技术中0 xOxy)(xfy=ab1x .)(d)(:10 abyxxfnba=矩形法示意0y1yOxy)(xfy=ab .)(2d)(:210 yyabxxfnba+=)(0afy=)2(1bafy+=0 x1x2xOxy)(xfy=ab0 x1x2x3x4x0y1y2y3y4y)(4d)(:43210 yyyyabxxfnba+=继续分下去会有什么结果？每次分割后
16、，取小区间的右端点进行计算行不行？1.矩形法Oxy)(xfy=ab0 x1x2x1nxnx取左端点等分：分成将 ,nba ,120bxxxxann=,),2 ,1(niinabaxi=+=.),2 ,1(ninabxxi=,),2 ,1()()(,11则记若取nixffyxiiiii=xxfxfxxfniiniiiba=111 )()(d)(.)(110+=nyyynab取左端点 ,),2 ,1()()(,则记若取nixffyxiiiii=xxfxfxxfniiniiiba=11 )()(d)(.)(21nyyynab+=取右端点以上两个公式称为“矩形公式”.)()(d)(21 取右端点nbayyynabxxf+.)()(d)(110 取左端点+nbayyynabxxf矩形法的误差估计：,)(时，上单调增加或单调减少在当baxfOxyOxy)(xfy=abnab abnab|0为高为底，以以矩形公式的误差不超过yynabn .|)()(|afbfnab的矩形面积值，即误差)(xfy=非单调函数可以按单调性分区间来估计误差.)1(nO=误差总的说来，矩形公式的2.梯形法 )(的下，用曲线