1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二讲 函 数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第二节 函 数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义 )(,的定义域。称为函数其中，。，数
2、，记为上的函为定义在则称对应，与，按照规则存在唯一的，使得一个规则为非空实数集。若存在设fAAxxfyAfxfRyAxfA=RAfxfy=:)(就是映射实质上，函数函数的图形。为曲线的函数；称是为函数，或称习惯上，称)()(xfyxyxf=处有定义。在点。此时，称函数函数值，记为处的在点称为函数所对应的 )(00000000 xfyyxfyxfRyAxxx=。，即或域，记为的值，称为函数时的全体函数值的集合 )(|)()()(AxxfyyfRAffRfAx=2.函数的表示法解 析 法表 格 法图 示 法自己看书！3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的
3、事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。.)1ln(14 2的定义域求函数+=xxy042 x01x0)1(lnx综上所述,该函数的定义域为 D=(1,2)。由负数不能开偶次方,得由对数函数的定义域,得由分母不能为零,得 2 ,2 x),1(+x2 x例1解该函数为分段函数,它的定义域为2,0()0,2D=求函数的定义域。=20 ,202 ,2xxxxy例2解分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不同的对应关系的函数,即在定义域的一些不相重叠的真子集上,用不同的表达式表示的函数.该函数称为符号函数,其定义域为1x
4、yO1y=sgn x.),(+例3解0 0 0 ,1,0 ,1 sgn=xxxxy求的定义域。也称为克朗涅哥函数,Rx将 x 表示为:函数y=x =“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例4“整数”+“正的小数”或“零”=xxyO。xy=12312312312344142.012+=12=5.015.0+=15.0=3.037.2+=37.2=033+=33=033+=33=想想取整函数的图形是什么样子？例5=+)1(xf已知，10 2 xx，21 2 xx )(的表达式。求xf解 1 ，得令+=xt=)(tf，21 1 22+ttt 32 2 2，tttx 代替故=)(xf，21 122+
5、xxx 32 22，xx定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例6解是否相同？与函数 ln2)(ln)(2xxgxxf=的定义域为)(xf ,),0()0 ,(+=fD的定义域为)(xg ,),0(+=gDgfDD )()(不相同。与xgxf,)()(Rxgxf的定义域均为实数域与,)()(,|2的对应关系相同与即又xgxfxx=)()(相同。与函数xgxf例7解是否相同？与函数)(|)(2xxgxxf=5.函数的图形称为函数 f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,)(|),(fDxxfyyx=是否所有的函数均可绘
6、出几何图形？=,0 ,1)(D为无理数为有理数xxxy例8狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet18051859狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数上是单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1222Ixfxfxfxx上是严格单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1222Ixfxfxfxx在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加,记为。Ixf)
7、(,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数的。减少上是单调间在区，则称函数若 )()()(1222Ixfxfxfxx的。减少上是严格单调间在区，则称函数若 )()()(1222Ixfxfxfxx在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少,记为。Ixf)(函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I 有关.画画图就一目了然.例9 sin函数，但在其定义域内不是单调xy=;sin 2 ,2 x上，在 ;sin 23 ,2 x上，在我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有界有上界有下界设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 A,
8、B,使对一切 x I 恒有A f(x)B则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。否则,称函数 y=f(x)在区间 I 上无界。函数有界性的定义y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图函数 y=f(x)在区间 I 上有界。，使MxfM|)(|0Ox成立，则称函数 y=f(x)在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 M(可正，可负)，对一切 x I 恒有OxyMy=f(x)f(x)MOxf(x)m在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 m(可正，可负),对一切 x I 恒有成
9、立，则称函数 y=f(x)Oxymy=f(x)函数 y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间 I 上:xyABO)(xfy=无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间 I 上有下界，则必有若函数)(xfy=间 I 上的下确界，记为。)(infIxfx无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间 I 上有上界，则必有若函数)(xfy=间 I 上的上确界，记为。)(supIxfx有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据:函数 y=f(x)在区间 I 上无界，则不论 M 0 的
10、值取得多么大，总,0Ix 使得|f(x0)|M 成立。易知：例10解 2。：讨论函数函数的有界性xy=。函数的定义域为：),(+=fD ),(1 0 0有，取因为+=MxM，MMMxf+=+=1)1(|)(|20在其定义域内是无界的。故函数2xy=在任何一个有限区间内有界。2xy=3.奇偶性若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为奇函数。奇函数的图形关于坐标原点对称。设函数 y=f(x)的定义域 Df关于坐标原点对称。哪些是奇函数,哪些是偶函数:指出下列函数在其定义域内1)2)3)4)
11、5)6)7)8xysin=xycos=xy=4xxy+=|xy=5=yxysgn=)1(ln2xxy+=4)既不是奇函数又不是偶函数奇奇奇奇偶偶偶例11定理在关于坐标原点对称的区间 I 内：两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。定理的形式。在关于坐标原点对称的区间 I 内有定义的任何一个函数 f(x)，均可表示为区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 2)()()(2)()()(。，xfxfxhxfxfxg=+=，其中证明提示：令)()()(xhxgxf+=4.周期性则称 f(x)为周期函数，称为函数 f(x)设函
12、数 y=f(x),x (,+)。若存在 0,对一切 x (,+)恒有y=f(x+)=f(x),的一个周期。如果一个周期函数有最小正周期存在,记为则称 T 为周期函数的周期。T=min ,0通常所说的周期是故称正弦函数 y=sinx 的周期为2。=2k(k Z 且 k 0)均为函数y=sin x 的周期,而它的最小正周期为T=min 2k=2kZ+例12截尾周期函数（最终周期函数）的定义：请自己看书！请自己看书！请自己看书！请自己看书！三、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数 y=C(C 为常数)2.幂函数 y=x(R 为常数)3.指数函数 y=a
13、x(a 0,a 1)4.对数函数 y=loga x(a 0,a 1)5.三角函数y=sin x y=cos x y=tan xy=cot x y=sec x y=csc x6.反三角函数y=arcsin x y=arccos y=arctan xy=arccot x y=arcsec x y=arccsc x详 情 见 书四、复合函数、反函数)(xgu=gDfDgR)(ufy=xufRy？如何描述gDfgDR 1.复合函数设有映射,)(xgu=fDuufy=,)(及,Dgx的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，如果对于映射)(xg的定义域(或定义域的一部分)中那么，将
14、)(xgu=代入消去 u 后,就有)(ufy=)()()(xgfxgfy=ggDDx其中，u 称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。)(ufy=)(xgu=由函数uy=,),0+u21xu=),(+x可构成复合函数21 xy=1,1x函数复合后一般应重新验证它的定义域例13函数复合而成?是由哪几个函数 )1ln(arccos 2=xyuyarccos=它是由以下几个函数复合而成:12=xwwvln=vu=例14解复合函数分解到什么时候为止？以上过程称为对复合函数的分解分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.例15 ).(,3 ,2 ),()(),()(,1)(112xfnxff
15、xfxffxfxxxfnnn求设=+=+解)(1)()()(21xfxfxffxf+=,212xx+=,31)(1)()()(221112xxxfxfxffxf+=+=,)1(1)()(21xkxxffxfkk+=设 .)1(1)(2xnxxfn+=由数学归纳法可证得：自由落体运动中,位移与时间的关系是221tgs=选时间 t 为自变量:选位移 s 为自变量:gst2=直接函数反函数习惯上称2.反函数是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.)(xfy=与)(1yfx=互为反函数.反函数的定义为逆映射 )(),(,:1fDxfRyxyf)
16、(),(,:fRyfDxyxf设函数自己画一下草图例16的反函数。求函数),(,2+=xxy存在。在其定义域内反函数不 2xy=为时，它的反函数存在，),0+x),0 ,。+=yyx为时，它的反函数存在，0 ,(x 0 ,(,。=yyx反函数的图形将函数 y=f(x)的反函数写成 x=f1(y)时，函数与其反函数的图形相同.将函数 y=f(x)的反函数记为 y=f1(x)时，函数 y=f(x)与其反函数 y=f1(x)的图形关于第、象限的角平分线 y=x 对称。Oxy)(xfy=)(1yfx=)(1xfy=xy=反函数的图形例16的反函数。求分段函数+=xxxxxyx4 ,2 ,41 ,1 ,21 ,=yyx161 ,=yyx1 ,=xxy得由41 ,2=xxy由得+=yyx16 ,log2由得+=xyx4 ,2解综上所述，所求反函数为故所求反函数为+=yyyyyyx16 ,log161 ,1 ,2求分段函数的反函数是：先求出各段上函数的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数。增加的.定理减少减少 ,),(是严格单调增加的若函数fDxxf ,),(1且是严格存在则其反函数fRyy