1、高等院校非数学类本科数学课程授课老师：彭亚新 第第七七章 一元函数的积分学章 一元函数的积分学 第第一一节 不定积分及其计算节 不定积分及其计算一.不定积分的概念二.不定积分的计算本讲学习要求 理解原函数与不定积分的概念与性质;熟练掌握求不定积分的第一类换元法(凑微分法).上的全体原函数的集合在区间 I )(xf I ,)()(|)(xxfxFxF记为上的不定积分在称为 ,I )(xf)()(d)(为任意常数CCxFxxf的一个原函数；为其中)()(,xfxF称为被积表达式；称为被积函数 d)(,)(xxfxf称为不定积分号；.称为积分常数C一.不定积分的概念,)(,的全部原函数的过程称求已知
2、函数习惯上xf .)(的不定积分为求函数xf .运算求不定积分是求导的逆 例如：;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1)|(lnCxxxxx每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.)(d为常数kCkxxk)1(11d1CxxxCxxx|lnd1(1)(2)(3)(4)(5)CxxxedeCaaxaxxlndCxxxsindcosCxxxcosdsinCxxxtandsec2Cxxxcotdcsc2(6)(7)(8)(9)Cxxxx secd tan sec(10)Cxxxx cscd
3、 cot csc(11)CxxxchdshCxxxshdch(12)(13)Cxxxarctand112Cxxxarcsind112(14)(15)不定积分与定积分是两个不同的概念.)(limd)(:10|niiixbaxfxxf限定积分是一种和式的极 ),()(:则算不定积分是求导的逆运xfxF .)(d)(CxFxxf二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.),()d)(xfxxf,d)()d)(d(xxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dC
4、xfxf 逆运算,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf .,为常数其中ba.函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质例1.d)12(33xx求解 d1)6128(d)12(24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 .251278357Cxxxx例2.d1132 2xxxx求解)(165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx绝对值绝对值例3.d13 22xxx求解xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 .arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法.
5、例4.1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d.)1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.例5.)()(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 .ln1Cbxaxba部分分式法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122.tancotCxx .下面看另一种解法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2c
6、os2 2221vvv .2sin2Cx 有何想法？两个解法答案不同，你例7 .sin1d xx求解 d )sin1)(sin1(sin1 sin1dxxxxxxxxxdcossin12xxxxxdcossindcos122.sectanCxx想想它是谁的导数？怎么做？怎么做？利用平方差公式例8 .d2 xexx求解Ceexexexxxx)2ln()(2 d)2(d2 .2ln12Cexxaaaxxln)(例9 .d|xex求解 ,0 时当 x,dd1|Cexexexxx ,0 时当 x,dd2|Cexexexxx ,其原函数连续由于被积函数连续，故,)(lim)(lim2010CeCexxx
7、x ,2 21从而即有 CC .0 ,0 ,2d|xCexCexexxx.)(为积分常数C2.不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.(1)不定积分的第一换元法 :公式首先看复合函数的导数 )(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),(则可微的复合函数xFy 它的微分形式为xxxFxFd)()()(d(),()(则记ufuF
8、 ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?定理 ,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF ,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!例10解.dcossin 3xxx求 ,dcosd ,sin 故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu 441Cx4sin41例11解.dsin 3xx求 ,sin)cos1(sinsinsin
9、223xxxxx由于 ,dsind ,cos 得从而，则故令xxuxu)d)(1(dsin)cos1(dsin223uuxxxxx ddd)1(22uuuuu.coscos313133CxxCuu例12解.dcossin 310 xxx计算 ,dcosd ,sin 于是则令xxuxuuuuxxxd)1(dcossin210310uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxx例13解.cos d 4xx计算 ,cos dd tan 2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.ta
10、n31tan3133CxxCuuuud)1(2例14解.dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有例15解.dsectan 35xxx计算xxxxxxxxdsectansectandsectan2435xxxxdsectansec)1(sec22xusec 令uuud)1(222uuuud)2(24
11、6Cuuu357315271Cxxx357sec31sec52sec71例16解.ln d xxx求于是则令 ,1d ,ln xuxuCuuuxxx|lndlnd.|ln|lnCx .)ln(d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式例17解.d1 4xxx求 ,d2d ,2故则令xxuxu241d21d1uuxxx.arctan21arctan212CxCu.)(d)(1d)(:1nnnxuuufnxxxf一般公式为例18解.d1 2xeexx求 ,dd ,故则令xeueuxx 1dd122uuxeexx.arctanarctanCeCux.)(d)(d)(:xkxkxeuuufxeef
12、一般公式为例19解.1 d 4xxx计算，故，则令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu|1|ln212 .)1 ln(2142Cxx例20解.)0(d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa .arcsin22Cxaaxa例21解 .d)1(arctan xxxx计算，故，则令xxuxu2dd uuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21dd arctan uuvuv d2d)1(arctanvvxxxxCv 2.)(arctan)(arctan22CxCu
13、换元法可以连续使用作 业练习册 P48P51:1,2,3高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新不定积分的计算方法利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法1.不定积分的第二换元法 d)(d)()(是被积表达式第一换元法中uufxxxf遇到的是一般形而在实际问题中，常常已明显含有因子,)(x。，不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf 将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)()(xxfd)()(tx令CtF)(容易积出：应满足什么条件？想想函数)(t定理上在区间，函数设函数*)()(
14、)(ItxICxf。，严格单调，可微，且IIt)(0)(*)()()(*，则上有原函数在区间若tFIttf 上有在区间 I ,)(d)(1CxFxxf是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx分第二换元法。该定理描述的是不定积例1解 ).0(d 22aaxx计算 采用第二换元法计算。22 dsecd tan 2，故，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.|ln122aCCCaxx22ax xat的表达式的积分，、一般说来，含有 2222axxa。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量 xt例2解 .)0(d 22ax
15、xa计算故则令 ,dcosd ,22 ,sin ttaxttax dcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta)2sin21(22 .2arcsin2222Cxaxaxaxat22xa Cttta)cos sin(22例3解.)0()(d 322axax计算 ,dcosd ,22 ,sin 故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12 .222Cxaaxxat22xa 例4解 .)0(d 22aaxx计算 .),(),(1)(22aaaxxf的连续区间为时 ),()1(ax dtansecd 20 sec ，故，则，令tt
16、taxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.|ln122aCCCaxxxat22ax 时 ),()2(ax dtansecd 2 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt|ln222Caxx0 x2222222)(lnCaxxaxxaxx)ln(.|ln122aCCCaxx ),(),(均有或综上所述，不论axax ).0(,|lnd2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时 例5解 .d 3xxx计算.6 ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx ,0 ,61txt令 ,d 6d ,56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd)111(62Ctttt|1|ln6 6 3 223 .)1ln(6632663Cxxxx .,.,2111的最小公倍数为分母这里可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来nkqpqpqqqkxtxxxnn例6解 .)1(d 2