1、第89讲 高斯公式问题的引入?设有平面流速场为场中逆时针方向的简单光滑闭曲线，则通过曲线 的流量为格林公式?通量密度或散度格林公式高斯公式推广?第89讲 高斯公式主要内容高斯公式高斯公式的应用散度第89讲 高斯公式高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面 所围成，的方向取外侧，函数在 上有连续的一阶偏导数，则有?高斯公式高斯 德（17771855）第89讲 高斯公式高斯公式证明：?设 为关于 轴简单的区域第89讲 高斯公式高斯公式若 不是关于 轴简单的区域?第89讲 高斯公式高斯公式的应用 若空间区域 内任一闭曲面所围成的区域全属于,则称 为空间二维单连通域.例1设在空间二维单连通区域 有
2、一阶连续偏导数，若对 内任一闭曲面，均有?，则?二维单连通域非二维单连通域第89讲 高斯公式高斯公式的应用定理2设空间有界闭区域夹于两闭曲面?和?之间，若函数在闭区域 上有一阶连续偏导数，且?，则有?，其中?和?的法向为通常闭曲面的正向对坐标曲面积分的“变形原理”?第89讲 高斯公式高斯公式的应用例2求流速场流过柱面?的侧面 的流量，的法向指向外侧【例2解】所求流量为?第89讲 高斯公式高斯公式的应用例2求流速场流过柱面?的侧面 的流量，的法向指向外侧【例2解】所求流量为?第89讲 高斯公式高斯公式的应用例3计算积分?，其中 为锥面?介于及之间部分的下侧.?由两类曲面积分的关系?第89讲 高斯
3、公式散度流量?当时,说明流入 的流体体积少于当时,说明流入 的流体体积多于当时,说明流入与流出 的流体体积相等.流出的,表明 内有源;表明 内有汇;流出的,流速场为，第89讲 高斯公式散度为 所围的区域,的体积为limMVMPQRxyz?由高斯公式，有M第89讲 高斯公式散度对于向量场，称?若向量场处处有，则称为无源场.说明:散度是通量对体积的变化率,且，表明该点处有正源；，表明该点处有负源；，表明该点处无源.散度绝对值的大小反映了源的强度.为向量场 在点处的散度第89讲 高斯公式散度例4计算高斯积分2cos(,)(,)d,I x y zSrr n其中 为不经过的光滑闭曲面，为曲面 上任一点处
4、的外法向单位向量，.3(,)dI x y zSrr n?第90讲 斯托克斯公式问题的引入河流产生的漩涡蹼轮的旋转速度可度量环流量的大小第90讲 斯托克斯公式主要内容斯托克斯公式斯托克斯公式的应用旋度第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理1设光滑曲面的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则,?右手法则在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式证明思路：?分别证明与相关的等式?联系：格林公式?第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式的其他形式：RQPzyxyxxzzydddddd dddPxQyRz 或者SRQPzyxdcosco
5、scos dddPxQyRz 第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式的应用例1计算曲线积分?，其中是圆柱面?与平面的交线，从轴的正向看去，为逆时针方向?第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式的应用空间曲线积分与路径无关的条件定理2设 是空间一维单连通域,函数在G内具有连续一阶偏导数,则下列四个说法等价:(1)对 内任一分段光滑闭曲线,有?；(2)对 内任一分段光滑曲线,?与路径无关；(3)在 内存在某一函数,使；(4)在 内处处有第90讲 斯托克斯公式斯托克斯公式的应用例2设有在全空间上的力场，验证该力场为保守场，并计算力从移动到所做的功.令，【例2解】由于所以力场为保守场，其原函数为?,?,?,?,
6、?从 到 所做的功为?第90讲 斯托克斯公式旋度已知向量场对于场中的向闭曲线，定义向量场沿曲线 的环流量为?由斯托克司公式，记?,?)?为曲面的单位法向量第90讲 斯托克斯公式旋度?向量场绕单位向量 的环流量密度为?M?,?向量场 在处的旋度?第90讲 斯托克斯公式旋度建立坐标系如图,设某刚体绕定轴 转动,角速度为,为刚体上任一点，点的线速度为旋度的力学意义则第91讲向量场的微积分基本定理问题的引入 格林公式?高斯公式?斯托克斯公式?第91讲 向量场的微积分基本定理主要内容向量场的积分梯度、散度与旋度积分公式的向量形式应用举例第91讲向量场的微积分基本定理向量场的积分设有空间向量场，为 中的光
7、滑或分段光滑曲线，为 中光滑或分片光滑曲面 向量场 沿曲线 的积分?实际背景：变力做功，向量场沿曲线的环流量?对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分第91讲向量场的微积分基本定理向量场的积分 向量场 沿曲面 的积分实际背景：流速场中的流量，电磁场中的通量?对坐标的曲面积分对面积的曲线积分第91讲向量场的微积分基本定理梯度、散度与旋度 梯度函数的梯度定义为?性质（1）可微函数沿梯度的方向导数最大，最大方向导数为?（2）梯度为等值曲面的法向量梯度场记号?第91讲向量场的微积分基本定理梯度、散度与旋度 散度 对于向量场，称为向量场 的散度?向量场 在点处的通量密度?（单位体积的通量）若向量场处处有，则称为
8、无源场.?第91讲向量场的微积分基本定理梯度、散度与旋度?,?向量场 的旋度绕单位向量 的环流量密度（单位面积的环流量）?性质 绕旋度的环流量密度最大.旋度对于向量场，称若向量场处处有，则称为无旋场.第91讲向量场的微积分基本定理梯度、散度与旋度 散度与旋度的运算法则设向量场的分量函数存在偏导数，为可微实值函数，为实常数，则有(1)；(2)；(3)；(4).问题：两个向量场叉乘的旋度运算法则是什么？第91讲向量场的微积分基本定理积分公式的向量形式 曲线积分的微积分基本公式 定积分的微积分基本公式?梯度向量场沿场中曲线积分与路径无关第91讲向量场的微积分基本定理积分公式的向量形式 高斯公式?格林
9、公式?通量?通量第91讲向量场的微积分基本定理积分公式的向量形式 斯托克斯公式 格林公式?环流量?环流量?第91讲向量场的微积分基本定理积分公式的向量形式 高斯公式?曲线积分的微积分基本公式?斯托克斯公式?第91讲向量场的微积分基本定理应用举例例1设静电场中仅有一带电量为的点电荷，该电荷位于原点求通过闭曲面的电通量，这里 是椭球面?例2证明：（1）旋度场为无源场，即；（2）梯度场为无旋场，即.第92讲 函数项级数收敛与一致收敛问题引入 数值级数121nnnaaaa级数收敛级数前 项部分和 数列?收敛?设为正项级数，且或.1nna 比值与根判别法则当时，级数收敛；当时，级数发散.第92讲 函数项
10、级数收敛与一致收敛主要内容函数项级数收敛概念函数项级数一致收敛概念一致收敛级数的判别法第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数收敛概念设函数?在集合上有定义，称?为 上的函数序列（或函数列）.如果对于每一个点，均存在，使得?则称函数序列?在点 处收敛，称为函数序列?的极限函数，称为收敛域.第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数收敛概念设?是定义在上的函数序列，则称对?,若数项级数?收敛,则称级数?在?处收敛，?称为收敛点,收敛点的全体称为收敛域；若数项级数?发散，则称级数?在?处发散，?称为发散点.()()()()nnnuxu xuxux121为定义在 上的函数项级数.第92讲 函数
11、项级数收敛与一致收敛函数项级数收敛概念若 为函数项级数?的收敛域，则对每个，存在惟一的，使得若用?表示函数项级数前项部分和,即()()nnS xux1()()nnkkSxux1?为余项，则在收敛域 上有称为函数项级数?在 上的和函数.?或 函数序列与函数项级数收敛性的关系第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数收敛概念例2求级数的收敛域.!nnxn0例3求级数的收敛域.nnx2111例1求级数的收敛域与和函数.nnx0第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数一致收敛概念例4考察函数序列及相应的极限函?数的连续性.123?1?2?3121函数序列的极限函数为第92讲 函数项级数收敛与一致
12、收敛函数项级数一致收敛概念定义1设函数序列?在收敛域上逐点收敛于，如果对于任意，存在只依赖于 的正整数，使得当时，恒有?则称函数序列?在上一致收敛于函数，?并记作第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数一致收敛概念 一致收敛的几何解释只要 充分大,所有函数?在上的曲线均位于曲线与曲线之间.?第92讲 函数项级数收敛与一致收敛函数项级数一致收敛概念定义2设函数项级数?在上的和函数为，若其部分和函数序列?在 上一致收敛于，则称函数项级数?在上一致收敛于和函数.?，使得当时，1()()()()nknkuxS xSxS x对一切成立，函数项级数一致收敛的“”定义则称?在上一致收敛于.第92讲 函数
13、项级数收敛与一致收敛函数项级数一致收敛概念例5讨论下列级数在区间上的一致收敛性22222222.1+12111(1)xxxxxxxxn xnx123?1?2?30.5?0.5?部分和函数列?第92讲 函数项级数收敛与一致收敛一致收敛级数判别法定理（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数?在区间上满足条件：(1)?；(2)正项级数?收敛，则函数项级数?在区间上一致收敛.魏尔斯特拉斯判别法又称为判别法第92讲 函数项级数收敛与一致收敛一致收敛级数判别法例6证明级数在?上一致收敛.黎曼(Riemann)函数 黎曼函数在上处处连续但处处不可导第93讲 函数项级数的解析性质问题引入11dd()()ddnnk
14、kkkuxuxxx0011lim()lim()nnkkkkxxxxuxux11()d()dbbkkannkkauxxuxx 有限个函数和的极限运算、求导运算、积分运算如果极限?存在如果导数dd?存在如果积分?d?存在1nk有限和1k无穷和第93讲 函数项级数的解析性质主要内容和函数的连续性函数项级数的逐项可积性函数项级数的逐项可导性第93讲 函数项级数的解析性质和函数的连续性?，使得当时，1()()()()nknkuxS xSxS x对一切成立，函数项级数一致收敛的“”定义则称?在上一致收敛于.函数项级数一致收敛的判别法若(1)?；(2)正项级数?收敛，则函数项级数?在上一致收敛.第93讲 函
15、数项级数的解析性质和函数的连续性定理1如果级数?的各项?在区间上都连续,且?在区间上一致收敛于,则在上也连续.即?，有00lim()()xxS xS x0011lim()lim()nnxxxxnnuxux0011lim()=()nnxxnnuxux注：?或 时为右或左极限第93讲 函数项级数的解析性质和函数的连续性定理1若级数?的各项?在区间上都连续，且?在区间上一致收敛于，则在上也连续.定理1对有界开区间或无穷区间均成立定理1”若级数?的各项?在上都连续，且?在区间上一致收敛于，则在上也连续.第93讲 函数项级数的解析性质和函数的连续性例1 证明黎曼函数在?上连续.【例1解】因为下列函数?在
16、上连续，且级数在上一致收敛，所以和函数在上连续.但是处处不可导！第93讲 函数项级数的解析性质函数项级数的逐项可积性()d()d()d()dxxxxnxxxxS xxu xxuxxuxx000012定理2如果级数?的各项?在区间上都连续，且?在区间上一致收敛于，则在上可积，且其中?，并且上式右端的级数在上也一致收敛.001()d()dxxnxxnS xxuxx即0011()d()dxxnnxxnnuxxuxx第93讲 函数项级数的解析性质函数项级数的逐项可积性例2证明：当时，成立12-1351(1)11arctan2-135nnnxxxxxn2-11-2-3-2-1123?第93讲 函数项级数的解析性质函数项级数的逐项可导性定理3如果级数?在区间内收敛于函数，它的各项?都具有连续导函数?，且级数?在区间上一致收敛,则?在上也一致收敛，且可逐项求导，()()()()nS xu xuxux121().nnux即亦即第93讲 函数项级数的解析性质函数项级数的逐项可导性sin()nnxf xn31例3证明函数连续可导.【例3解】首先在上收敛，sinnnxn31其次由于sin()()nnxuxn