1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长
2、、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性 .1用导数在几何中的简单应 .2应用导数在物理学中的简单 .)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy .)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加 .)2(求变量间的相关变化率 .1用导数在几何中的简单应 .)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy :),()(,)(00处在点则曲线可微设函数yxMxfyxf ,)(0 xfk切线的斜率为
3、 .)0)(,)(1 1 001xfxfkk法线的斜率为 ;)(000 xxxfyy切线方程为 .)()(1 000 xxxfyy法线方程为 .,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例 .)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就 一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交Oxy121L2LM .),()(:,)(:002211处相交于点设曲线yxMxfyLxfyL :相应的切线方程分别为 .)(,)(1022210111bxxfbxkybxxfbxky.导数的问题Oxy121L2LM )tan(tan12 1 2112kkkk ,)()(1
4、 )()(02010102xfxfxfxf .):()()(1 )()(arctan 02010201取锐角一般故xfxfxfxf例1解解 .1 的交角抛物线与求双曲线xyxyOxyxy 1xy M :联立方程组求交点 1xy xy .)1 ,1 (,M得交点为解此方程组 ,1 111211xxxxk ,2 1 21)(112xxxxk .arctan3 21)1(1 21)1(arctan 故例2解解 013 2yxxy上哪一点的切线与直线抛物线?45 o的交角为 ),(2处的切线的斜率为上任意一点抛物线yxxy ,2)(21xxk 013 的斜率为直线 yx .3)13(2xk ,得式由题
5、意及曲线间交角公 ,1 231 23 xx )()(1 )()(tan02010102xfxfxfxf取锐角 .161 ,41 )1 ,1(,)61(23 和解之得所求点为即xx例3解解 ,用立方抛物线和适当选取参数cA )()(cxbxaxAy 将两条射线,)()(1axaxky)()(2xbbxky .,上光滑地连接起来在区间ba两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接”,.切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线 .同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函 ,有处和在点对立方抛物线而言bxax ,)(cabaAyax .)(cbabAybx ,有接到含义由直线方程以及光滑连 ,)(
6、1kcabaA ,)(2kcbabA(1)(2)2()1(得,)()(2122kkacbcbabbcacabaA)3(.)(221bakkA故 :)1(3)值式中求代入将c ,)()(1221kcababakk 从而 .2121kkkbkac .,)(2121221即可满足要求故取kkkbkacbakkA .2应用导数在物理学中的简单 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例4 ,0其运动方程为发射炮弹发射角以初速度v ,)cos(0tvx .21)sin(20tgtvy ;)1(的运动方向炮弹在时刻求t .)2(的速度大小炮弹在时刻 t解解Oxy0vvxvyv )1(时的方向炮弹在时
7、刻 t 时的刻就是炮弹的轨迹线在时t ,而切线方向对应点上的切线方向 :反映可以通过切线的斜率来)cos()21)sin(dd020tvtgtvxy .cos sin 00vtgv ,则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记xt ,)cos(0tvx .21)sin(20tgtvy ,cos sin ddtan00vtgvxy ,轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻xt .)(cos sin arctan00取锐角vtgv :)2(分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t ,;且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于yxvyvx .sindd ,cosdd00tgvtyvvtxvyx ,时
8、的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知t .sin22202022tgtgvvvvvyxt .)2(求变量间的相关变化率 在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间 t 的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.例5解解 .cm/0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板?,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 ,则面积为设圆板的半径为yx(1).2xy .cm/0.01dd ,秒且的函数都是显然txtyx?dd
9、,cm 200 tyx时现要求 ,(1)得求导式两边关于将t ,dd 2ddtxxty ,200 圆板面积的增加率为时故在x .)(cm/401.0200 2dd秒ty例6解解 8 ,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水?升的速度 .,米水深为分钟后设注水ht ,米水面的直径也是此时h.12231 32hhhV容器内水的体积为 ,.412 ,4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV .16dd2hth ,5 其表面上升的速度为米时故当水深h .)(m/204.02516516dd2分th例7解解 ,设一贴靠在铅直的
10、墙上 5 米的梯子的下端以长度为 .m/3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd .引入坐标系如图所示 .(m)(m),yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 ,且有的函数均为显然tyx (1).5 ,)(m/3dd222yxtx秒xy ,我们的问题是注意到速度的方向性 (2).)(m/3dd秒ty ,5 222得求导两边关于对tyx ,0dd2dd2tyytxx .dd dd txyxty即有 .,3 3 ,)(m/3dd )2(yxyxtx即得秒式及由.25 ,5 222yxyx故而 .,25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx ,
11、使的值求yxyxO m 5txddtyddxy 下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.:理和公式回忆一下几个重要的定.)()()(abfaFbF式拉格朗日中值定理的公200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf 泰勒公式.)(o()()(!3)()(!2)(303300200 xxxRxxxfxxxf 由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,)(则内可导在区间若函数Ixf 0)(xf)(Ixf 0)(xf)(Ixf .)(0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf观察下面的图形,你能得出什么结论？OxyOxy )
12、(不存在的点也可作为使得函数的导数xf .函数单调性的分界点综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法 )(0)()(不存在的点或的导数使得函数xfxfxf .分界点可以作为函数单调性的.82 的单调性讨论xxy),0()0 ,(:定义域282xy)4(222xx得令,0 y,2 ,221xxxyy)2,(20),2(02),0(2),2(00例1解xxy82 ,函数综上所述 )(2,)2,(；内单调增加在
13、.)2 ,0(,)0 ,2(内单调减少在 列表可使问题明朗化 .),(sin 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx,),(sin)(xxxxf令 ,01cos)(,),()(xxfCxf则,0)(,)(2 xfZkkx时且仅当.)(仅在孤立点处为零即xf),(sin)(xxxf从而.)(,轴最多有一个交点与曲线就是说xxfy 例2证 ,)(sinlim)(lim xxxfxx而 ,)(sinlim)(limxxxfxx.)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy ,)(,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述xxfy .),(sin 内有且仅有一个实根在即方程 xx满足条件：设)(xf;0)0(,
14、),0()()1(fCxf,)(,),0()()2(),0(xfxf且内可导在.)()(:),0(xxfxg证明 ,)()()(2xxfxxfxg由于.),0(0)()(xxfxfx下一步你打算 怎么办?这个式子有点像？例3证 故关键在于证明.式形式拉格朗日中值定理的公 ,0 )(,),0(上满足在由已知条件可知xtfx)0)()0()(xffxf得由 ,0)0(f,)(0 ,)()(xxfxf ,)(),0(xf又,)()(,xxfxf从而,0)()()(2xxfxxfxg于是.)(,),0(xgx得的任意性故由 故有，拉格朗日中值定理条件.)3(是单调减少的数列证明：nnxnn,),3 ,
15、)(1xxxfx令21ln1)(xxxxfx,3 时当 x,0)(xf,)(),3xf故 .)3(,:nxn由此可得利用函数处理数列例4证函数的极值是个局部性的概念.)()()U(00的大小与内比较在xfxfx我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数定理 .0)()(00 xfxxf处取极值的必要条件是在点可微函数 .实质上就是费马定理 费 马Pierre de Fermat(16011665)费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮
16、革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,1637写下了著名的算术时年费马研究丢番图的 :费马大定理.,)2(zyxnzyxnnn的正整数不存在满足费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.)(0)(0的驻点的点称为函数使xfxf .,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知 .极值函数在驻点处不一定取,0 ,0 yx处在点 ,3xy 例如 .0不是极值此时但xyyxO3xy 0 x .点也是极值可疑点使得函数导数不存在的 ),(|,xxy例如,0 处不可导在点x .0 恰好是它的极小点但xyxO|xy 0 x?否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点 .0)(:的点驻点 xf .0)(不存在点使 xfOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点极小点极大点极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点Oxy0 x0 x0 x极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x