1、第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算问题的引入如何计算圆周和维维安尼曲线之间的柱面片的面积？第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算主要内容对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的应用第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的概念?线密度空间曲线型构件的质量分割取近似(,)nkkkkkMs 1lim(,)nkkkkkMs 01?方法：分割取近似，作和求极限?,?,?作和求极限?同时表示弧段与弧长?第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的概念存在,(,)df x y zs则称此极限为函数在曲线上对弧长的曲线积分，或第一型曲线积分.称为被积函数，称为积分路
2、径，曲线形构件的质量:(,)dMx y zs(,)nkkkkkfs 1()limD0定义1设 是空间中一条有限长的光滑曲线,是定义在 上的有界函数,若下列极限记作称为弧长元素.第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的概念如果是面上的曲线弧,则类似有对弧长的曲线积分()(,)dlim(,)nkkkLDkf x ysfs 01如果积分路径是封闭曲线,则记为特别，当被积函数时(,)d(,)dLf x y zsf x ys ，(,)ddf x y zss曲线 的弧长第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的概念 若被积函数，关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线形构件的质量.若
3、函数,作以平面上的曲线 为准线，母线平行于对 轴，且对应曲线上处高为的柱面片对弧长曲线积分的实际意义窄条柱面面积为柱面片 的面积?第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的性质性质1(线性性)性质2(对积分曲线的可加性)(,)(,)d(,)d(,)dLLLf x y zg x y zsf x y zsg x y zs12(,)d(,)d(,)dLLLf x y zsf x y zsf x y zs其中?.第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的计算基本思路:计算定积分转 化计算曲线积分定理1设是定义在光滑曲线弧上的连续函数,则曲线积分?存在，且(,
4、)d(),(),()()dbLaf x y zsf x ty tz tttr222(),(),()()()()dbaf x ty tz txtytztt积分上限大于积分下限第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的计算(,)d(),()()()dbLaf x ysf x tx txtytt22设是定义在平面光滑曲线弧上的连续函数,则曲线积分?存在，且2(,)d,()1()dbLaf x ysf x y xyxx2(,)d(),()1ddLcf x ysf x yyxyy特别地，第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的计算例1计算对弧长的曲线积分?，其中 的方程为 .?
5、【例1解】由曲线积分计算公式(,)d(),(),()()dbLaf x y zsf x ty tz tttr第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的计算例2设有点和点，为线段和组成的闭曲线，计算对弧长的曲线积分?.?【例2解】分段计算积分?第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的应用例3求椭圆柱面?介于平面和之间且位于第一、二卦限内的部分面积.?【例3解】?第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的应用11例4设半圆?形状的曲线在处的密度为，求曲线的质量与质心.质量?质心坐标?第83讲 对弧长的曲线积分的概念与计算对弧长曲线积分的应用例5有一半圆弧，其线
6、密度为，求它对原点处单位质量质点的引力.F?引力微元在方向的分量为?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算问题的引入常力做功变力做功变力 对物体所做的功为多少？第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算主要内容对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的计算两类曲线积分的关系对坐标曲线积分的应用第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念所谓向量场，就是空间某区域中的向量分布，即该区域中的每一点上都指定了一个向量.向量场空间向量场可记为或与时间无关的向量场称为定常向量场.向量值函数第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念变力沿曲线所作的功设为力场中的一光滑或分段光滑的曲线，
7、求力 沿曲线 从 移动到 所作的功.分割：从 至 顺次插入个点?.分割取近似，作和求极限?,?,?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念变力沿曲线所作的功取近似：分割取近似，作和求极限?,?,?作和取极限：101lim(,)nkkkkkkWP P F 其中?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念?101lim(,)nkkkkkkP PW F 01lim(,)(,)(,)nkkkkkkkkkkkkkPxQyRz?01lim(,)nkkkkkPx 对坐标的曲线积分第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念定义 设为空间上一条从 到 的有向光滑
8、曲线弧，向量值函数 定义在上，若对的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限101lim(,)nkkkkkkP P F 都存在，则称上述极限为在有向曲线弧 上对坐标的曲线积分或第二类曲线积分.其中称为被积函数,称为积分弧段 或 积分曲线.(,)d(,)d(,)dP x y zxQ x y zyR x y zz记作第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念01lim(,)(,)(,)nkkkkkkkkkkkkkPxQyRz 0111lim(,)(,)(,)nnnkkkkkkkkkkkkkkkPxQyRz 000111lim(,)lim(,)lim(,)nnnkkkkkkkkkkkkk
9、kkPxQyRz (,)dQ x y zy对的曲线积分(,)dP x y zx(,)dR x y zz对的曲线积分对的曲线积分(,)d(,)d(,)dP x y zxQ x y zyR x y zz组合型曲线积分第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念因此，变力 沿曲线所作的功可表示为(,)d(,)d(,)dWP x y zxQ x y zyR x y zz若曲线为闭曲线，则对坐标的曲线积分记作：(,)d(,)d(,)dP x y zxQ x y zyR x y zz(,)d(,)d(,)dP x y zxQ x y zyR x y zz第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算
10、对坐标曲线积分的概念如在上对坐标 和坐标 的曲线积分分别为01(,)dlim(,),nkkkLkf x yxfx 函数在平面曲线 上的组合型曲线积分为(,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)dLLP x yxQ x yy01(,)dlim(,).nkkkLkf x yyfy 第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念记 r，为平面曲线弧，则对坐标的曲线积分可记作记 r,，为空间曲线弧，则对坐标的曲线积分可记作d(,)d(,)d.LLP x yxQ x yyFrd(,)d(,)d(,)d.P x y zxQ x y zyR x y zzFr第84讲 对坐标的曲线积
11、分的概念与计算对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的性质dd.LL FrFr?表示与路径相同但方向相反的曲线.?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的性质对于由若干曲线段构成的曲线?，有对积分曲线的可加性1(,)d(,)d(,)d(,)d.knLLkP x yxQ x yyP x yxQ x yy其中 的方向与?的方向一致.第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的计算定理 设向量值函数 在有向光滑弧 上连续，则相应的对坐标曲线积分存在.如果即为曲线的方向，则(,)d(,)d(,)dLP x y zxQ x y zyR x y zz(,)()(,)
12、()(,)()dbaP x y zx tQ x y zy tR x y zz tt特别，令，则有(,)d(),(),()()d.baP x y zxP x ty tz t x tt第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的计算例1设有点和点，为线段和组成的闭曲线，计算对坐标的曲线积分?，其中积分曲线的方向为的方向.【例1解】分段计算积分?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标曲线积分的计算例2计算曲线积分?，其中(1)?为沿?至的右半单位圆周；(2)?为沿?至的左半单位圆周；(3)?为逆时针方向的单位圆周?.?第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算两类曲线积分的关系设有向光滑
13、弧以弧长为参数 的参数方程为 已知 切向量的方向余弦为两类曲线积分有如下联系(,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)cos(,)cosdLx yQ x ys 微分三角形第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算两类曲线积分的关系类似地,空间曲线 上的两类曲线积分的联系：dddcoscoscosdPxQyRzPQRs令 ddFrF t r记在上的投影为?ddtFrFr在 切线方向的投影对弧长在 上的曲线积分第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用例3设在力场 作用下,质点由 沿移动到 ，其中为(，试求力场对质点所作的功.【例3解】所作的功为对坐标的曲线积分?第84讲 对坐
14、标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用流量大小与涡旋强度第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用环量?流量?为封闭曲线逆时钟方向.曲线所在向量场为为 在处与 方向一致的单位切向量，即?|?|，为 在处指向外侧的单位法向量，为?,?|?|.则定义第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用dLsv T()()d()battttrvrr()dbattv r(,)d(,)dLP x yxQ x yy()dbattv T r环量流量(,)d(,)dLQ x yxP x yydLsv n(),()()d()bay tx tttvr tr(),()dbay tx
15、 ttv环量的对坐标曲线积分的形式流量的对坐标曲线积分的形式第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用例4分别计算向量场?和?沿场中单位圆?的环量和通过 的流量，其中 为逆时针方向.(,)d(,)dLP x yxQ x yy 环量流量(,)d(,)dLQ x yxP x yydLsv TdLsv n第84讲 对坐标的曲线积分的概念与计算对坐标的曲线积分的应用例4结果的直观解释沿直径向外穿过顺着方向旋转?第85讲 格林公式问题的引入如何测量梯田与湖泊的面积？第85讲 格林公式问题的引入GPS面积测量仪第85讲 格林公式主要内容简单区域的格林公式一般区域的格林公式区域面积的计算第
16、85讲 格林公式简单区域的格林公式?简单区域：既是型区域也是型区域?第85讲 格林公式简单区域的格林公式定理1(简单区域上的格林公式)设平面上的区域 为简单闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，函数在 上有连续的偏导数，则有格林公式?其中 为逆时针方向.?第85讲 格林公式简单区域的格林公式?为逆时针方向,符合“左手法则”的方向 允许平行于轴或轴的直线与区域的部分边界重合?在D上有连续的偏导数?第85讲 格林公式简单区域的格林公式【例1解】利用格林公式计算曲线积分对于向量场?环量?流量?例1分别计算向量场?和?沿场中逆时针方向单位圆?的环量和通过 的流量.第85讲 格林公式简单区域的格林公式例1分别计算向量场?和?沿场中逆时针方向单位圆?的环量和通过 的流量.【例1解】利用格林公式计算曲线积分对于向量场?环量?流量?第85讲 格林公式简单区域的格林公式例2计算?，其中 为从到的上半圆周?.令?【例2解】由格林公式有第85讲 格林公式一般区域的格林公式单连通区域与多连通区域若区域内的任何一条简单闭曲线 的内部均在区域 内，则称为单连通区域单连通区域多连通区域非单连通区域的区域称为多连通区域