1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十二讲 函数的连续性脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一点连续
2、以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第七、八节函数的连续性及其性质一、一、连续函数的概念二.函数的间断点三.连续函数的运算及其基本性质四.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f(x)在 U(x0)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx=则称函数f(x)在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义(极限形式)可减弱：x0为聚点函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域函数 f(x)在点
3、x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点x0 处有定义).)()3(0 xfa=(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx=)(,(0有极限时xfxx 函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?0lim20=xx函数 y=x2 在点 x=0 处连续.又且0020=xxxyy=x 2 在 U(0)内有定义,例1解函数的连续性是通过极限定义的,当然可以运用 语言描述它.2.连续性的语言形式设函数f(x)在 U(x0)内有定义.,若 ,当|x x0|时,有则称函数f(x)在点 x0 处是连续的.|f(x)f(x0)|0,11li
4、msgnlim00=+xxx1)1(limsgnlim00=xxxsgn x|x=0=sgn 0=0故符号函数y=sgn x 在点 x=0 处不连续.0,x=0,1,x 1,但由于)1(1)(lim1fxfx=例4解5.函数在区间上的连续性设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)C(a,b).定义若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处右连续,在端点x=b 处左连续,则称函数f(x)在闭区间a,b 上连续,记为f(x)C(a,b).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,
5、如果函数 f(x)在区间 I上连续,则记为 f(x)C(I).例5介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、赫尔德(h lder)连续性.,)(,|)()(|,212121上是李普希茨连续的在则称成立有使得如果存在常数baxfxxLxfxfbaxxL .|)()(|,2121称为李普希茨条件其中xxLxfxf .).,()(,)(反之不真则上是李普希茨连续的在如果baCxfbaxf :,)(上满足赫尔德条件在区间如果函数baxf,|)()(|212121baxxxxLxfxf ,)(,10 ,上在区间则称为常数其中baxfL .是赫尔德连续的 .,1 ,即为李普希茨连续时称为赫尔德指数=.).
6、,()(,)(反之不真则上是赫尔德连续的在如果baCxfbaxf .,赫尔德条件是非线性的李普希茨条件是线性的 .,;请自己完成的证明连续性赫尔德连续性连续性由李普希茨连续性例).0()(031=xxxf二.函数的间断点通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义;(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa=(极限值等于函数在点 x0 处的函数值);)(lim )2(0存在axfxx=)(,(0有极限时xfxx(1)f(x)在 x0 处无定义.)(lim (2)0不存在axfxx=1.函数间断点的定义满足
7、下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x)若函数 f(x)在)(U0 x内有定义,且在点 x0 处.)(,)(lim(3)00 xfaaxfxx=但在点 x0 处间断,点 x0 称为函数f(x)的一个间断点：定义求函数间断点的途径:(1)f(x)在 x0 处无定义,但 f(x)在)(U0 x内有定义.(2)中至少有一个不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx+与(3)存在,但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx+与(4)但 a f(x0).,)(lim)(lim00axfxfxxxx=+2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(
8、1)第一类间断点若 x0 为函数f(x)的一个间断点,且f(x)的第一类间断点.,)(lim)(lim00存在与xfxfxxxx+则称 x0 为函数定义讨论函数f(x)=x+1x 0sinxx 00 21=x在 x=0 处的连续性.yxO121)(xfy=y=sinxyx+1由图可知,函数在点 x0处间断.例6 21)0(=f=+)(lim 0 xfx=)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx+故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.)0 )(处有定义在=xxf1)1(lim0=+xx0sinlim0=xx解讨论.1
9、 11)(2处的连续性在=xxxxf函数在x=1 无定义,2)1(lim11lim 121=+=xxxxx而故 x=1 为函数的第一类间断点.x=1 为函数的间断点.yxO11P(1,2)进一步分析该间断点的特点.例7解补充定义211lim|211=xxyxx则函数 f*(x)在 x=1 连续.f*(x)=1 112xxx2 x=1 即定义分析211lim 21=xxx由于这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存补充定义f*(x)=)(lim0 xfxx,x=x0 ,)(0 xxxf跳跃型间断
10、点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等、补充定义(2)第二类间断点凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数.0 1)(处的连续性在=xxxfxyOxy1=在 x=0 无定义,xxf1)(=x=0为函数的间断点,1lim)(lim 00=xxfxx又故 x=0为函数的第二类间断点.xxf1)(=)(lim 0 xfx所以称它为无穷间断点.由于例8解.0 1sin)(处的连续性在讨论函数=xxxf在 x=0 处无定义,xxf1sin)(=.0为函数的间断点=x又xxfxx1sinlim)(
11、lim00=不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例9解O11xy 1sinxy=.1sin)(0 的振荡型间断点为称xxfx=无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡三.连续函数的运算及其基本性质回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当)()(,0 xgxfxx,)(lim0axfxx=,)(lim0bxgxx=则baxgxfxgxfxxxxxx=)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx=)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()
12、(lim000=bbaxgxfxgxfxxxxxx回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当)()(,0 xgxfxx,)(lim0axfxx=,)(lim0bxgxx=则baxgxfxgxfxxxxxx=)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx=)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000=bbaxgxfxgxfxxxxxx,)()(0处连续在点、设函数xxgxf)(0 xf)(0 xg0)()()()(00 xxxgxfxgxf=0)()()()(00 xxxgxfxgxf=)0)()()()()(0000=xgx
13、gxfxgxfxx现在怎么说?1.连续函数的四则运算设函数f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,)()(lim00 xfxfxx=则),2 ,1()()(lim00nxfxfiixx=即,)()(lim00 xgxgxx=)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx=(1)有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点 x0 处连续的函数.即 )()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx+=+)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx=(2)有限个在点x0 处连续的函数之积仍是一个在点x0 处的连续函数.即)()()()()()(l
14、im 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx=()0)()()()(lim)(lim)()(lim 000000=xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3)两个在点x0 处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0 处连续函数.即2.几个重要定理这些定理与极限中的定理类似xyy=f(x)y=|f(x)|O若 f(x)在区间 I 上连续,则|f(x)|仍在 I 上连续.定理 1 x0I,由 f(x)在 x0 的连续性:,当|x x0|时,有|f(x)f(x0)|此时,由绝对值不等式得|f(x)|f(x0)|f(x)f(x0)|0,(或 f(x0)0,使当 xU(x0,)时,有
15、 f(x)0 (或 f(x)0,使当 xU(x0,)时,有若 f(x0)0,推论反函数的连续性Oxyy=f1(x)的图形只是y=f(x)的图形绕直线y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f1(y)与 y=f(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、)(1yfx=)(xfy=)(1xfy=设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数)(1yfx=在相应的区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.定理 3(反函数连续性定理)xy2211O增加单调)1 ,1 (arcsin=Cxy22xy11O增加单调)2 ,2 (
16、sin=Cxy例11讨论复合函数的连续性如果 y=f(u)在 u0 处连续,则 ,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即.lim00uuxx=,)()(lim00 xxxx=亦即|uu0|=|(x)(x0)|故对上面的 ,当|xx0|时,有则 ,当|x x0|时,|uu0|=|(x)(x0)|且有（假设可以构成复合函数）|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|0.时,幂指函数 g(x)h(x)也是连续函数.当 g(x)与 h(x)均为连续函数,且 g(x)0eeexxxxxx=1111lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx=+1sin1lim100)sin1(lim)1 (2)(1)1),5(5)52(lim2cos20=+baxxxx例15四.初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！求xxxxarctan)2ln(lim21+=+xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12=+连续性给极限运算带来很大方便.例16解,)2(2lim)(2的连