1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新第三章 函数的连续性本章学习要求：理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数 的性质（介值定理、最值定理）。第三章 函数的连续性第一、二节 函数的连续性及其性质一、一、连续函数的概念二.函数的间断点3连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f(x)在 U(x0)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义(极限形式)可减弱：x0 为聚点 函数的连续性是一个局部性
2、的概念,是逐点定义的.是整个邻域函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?0lim20 xx 函数 y=x2 在点 x=0 处连续.又且0020 xxxy y=x 2 在 U(0)内有定义,例1解 函数的连续性是通过极限定义的,当然可以 运用 语言描述它.2.连续性的 语言形式设函数 f(x)在 U(x0)内有定义.,若 ,当|x x0|时,有则称函数 f(
3、x)在点 x0 处是连续的.|f(x)f(x0)|0,11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0=0故符号函数 y=sgn x 在点 x=0 处不连续.0,x=0,1,x 1,但由于)1(1)(lim1fxfx例4解5.函数在区间上的连续性设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)C(a,b).若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为f(x)C
4、(a,b).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性一般地,如果函数 f(x)在区间 I上连续,则记为 f(x)C(I).例5介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、赫尔德(hlder)连续性.,)(,|)()(|,212121上是李普希茨连续的在则称成立有使得如果存在常数baxfxxLxfxfbaxxL .|)()(|,2121称为李普希茨条件其中xxLxfxf .).,()(,)(反之不真则上是李普希茨连续的在如果baCxfbaxf :,)(上满足赫尔德条件在区间如果函数baxf,|)()(|212121baxxxxLxfxf ,)(,10 ,上在区间则称为常数其中baxfL .是赫尔德连
5、续的 .,1 ,即为李普希茨连续时称为赫尔德指数 .).,()(,)(反之不真则上是赫尔德连续的在如果baCxfbaxf二.函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义 (包括在点 x0 处有定义);)(lim )2(0存在axfxx)(,(0有极限时xfxx.)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(1)f(x)在 x0 处无定义.)(lim (2)0不存在axfxx1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x)若函数 f(x)在)(U0 x内有定义,且在
6、点 x0 处在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f(x)的一个间断点：.)(,)(lim)3(00axfaxfxx但存在(1)f(x)在 x0 处无定义,但 f(x)在)(U0 x内有定义.(2)中至少有一个不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(3)存在,但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(4)但 a f(x0).,)(lim)(lim00axfxfxxxx2.函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1)第一类间断点若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且f(x)的第一类间断点.,)(lim)(lim00存在与x
7、fxfxxxx则称 x0 为函数讨论函数 f(x)=x+1 x 0sinx x 0,(或 f(x0)0,使当 xU(x0,)时,有 f(x)0 (或 f(x)0).(保号性定理)Oxy y =f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f 1(y)与 y=f(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、)(1yfx)(xfy)(1xfy设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数)(1yfx在相应的区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.(反函数连续性定理)xy2211
8、O增加单调)1 ,1 (arcsinCxy22xy11O增加单调)2 ,2 (sinCxy例11讨论复合函数的连续性如果 y=f(u)在 u0 处连续,则 ,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即.lim00uuxx,)()(lim00 xxxx亦即|u u0|=|(x)(x0)|故 对上面的 ,当|x x0|时,有则 ,当|x x0|时,|u u0|=|(x)(x0)|且有（假设可以构成复合函数）|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|0.时,幂指函数 g(x)h(x)也是连续函数.当 g(x)与 h(x)均为连续函数,且 g(x)0eeexx
9、xxxx1111lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx1sin1lim100)sin1(lim)1 (2)(1)1),5(5)52(lim2cos20baxxxx例15四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例16解,1lim)(2212nnnxbxaxxxf设.),()(,上连续在取何值时问xfba1 ,211 ,211|,1|,1lim)(22212xbaxbaxxxbx
10、axxbxaxxxfnnn,),1(),1 ,1(),1,()(上为初等函数在由于xf所以在其上是连续的.例18解 1 )(,),()(xxfxf在只需上连续在要处连续即可.即应有,)1()(lim)(lim11fxfxfxx,)1()(lim)(lim11fxfxfxx11baba解此方程组得所求:.1 ,0ba得到方程组的表达式由 ,)(xf高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数 的性质（介值定理、最值定理）。一.最大值和最
11、小值定理二.介值定理1 最大值和最小值定理设 f(x)C(a,b),则 (i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxyy=f (x)a,b,y=f(x)a,b,.)()(max,bfxfbax,)()(min,afxfbax，)()(max,afxfbax.)()(min,bfxfbax此时,函数 f(x)恰好在 a,b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则 (ii)y=f(x)为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am(最大值和最小值定理)若 f(x)C(a,b),则
12、它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x 在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.若 f(x)C(a,b),则 f(x)在 a,b 上有界.xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am 看图就知道如何证明了.推论推论二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.先看一个图 描述一下这个现象(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a,b),使得 f()0.设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,axyy=f(x)f
13、(a)bf(b)O 如何证明？将区间 a,b 等分为 a,a1 和 a1,b,在这两个区间中,选择与 a,b 性质相同的一个,例如,若 f(a1)f(b)0,则选取区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且a1,b,然后,对 a1,b 进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的 (a,b).(介值定理)设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a,b),使得 f()=C.令 (x)=f(x)C 故由根存在定理,至少存在一点
14、 (a,b)使 则 (x)C(a,b)C 在 A,B 之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(A C)(B C)0yBCAOabxx证()=0,即 f()=C.最大、最小值定理介值定理？引入设 f(x)C(a,b),则 f(x)取得值 m 之间的任何一个值.推论推论介于其在 a,b 上的最大值 M 和最小.)()()()(21nxfxfxffn设 f(x)C(a,b),证明:至少存在一点 x1,xn,使得例1a x1 x2 xn b,证故由 ),()(baCxf ,)(max)()(min,11Mxfxfmxfnnxxxxxx,)()(1Mnxfxfmn从而由介值定理,至少存在一点 x1,xn,使.)()()(1nxfxffn证明方程 x5 3x=1在 x=1 与 x=2 之间令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,b 0)设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b ),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,