1、华东师范大学统计系茆诗松、程依明、濮晓龙 研制?特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；.定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称(t)=E(eitX)为 X 的特征函数.(必定存在)注意：1i 是虚数单位.(1)当X为离散随机变量时，(2)当X为连续随机变量时，1()kitxkkept()d()itxep xxt这是 p(x)的傅里叶变换特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：(1)欧拉公式：cos()sin()itxetxitx(2)复数的共轭：abiabi(3)复数的
2、模：22abiab 性质4.1.1|(t)|(0)=1 性质4.1.2 ()()tt 性质4.1.3 ()()ibtXaX bteat 性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则()()()X YXYttt 性质4.1.5 ()()(0)kkki E X 定理4.1.1 一致连续性.定理4.1.2 定理4.1.3 定理4.1.4 唯一性.定理4.1.5 非负定性.逆转公式.连续场合，1()d2()itxettp x 讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.定理4.2.1（伯努利大数定律）设 n 是n重伯努利试验中事
3、件A出现的次数，每次试验中 P(A)=p,则对任意的 0，有lim1nnPpn 大数定律一般形式：若随机变量序列Xn满足：1111()lim1nniiiinXE XnnP则称Xn 服从大数定律.定理4.2.2Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.定理4.2.3若随机变量序列Xn满足：则 Xn服从大数定律.211Var 0niiXn(马尔可夫条件)定理4.2.4若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 Xn服从大数定律.(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数
4、定律是辛钦大数定律的特例.两种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；ii)按分布收敛：用于中心极限定理.定义4.3.1 (依概率收敛)PnYY 大数定律讨论的就是依概率收敛.lim1nnP YY若对任意的 0，有则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y,记为定理4.3.1 若 ,PnXa PnYb 则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.定义4.3.2 若在 F(x)的连续点上都有lim()()nnF xF x则称Fn(x)弱收敛于 F(x)，记为()()WnxFF x相应记 LnXX 按分布收敛定理4.3.2 PLnn
5、XXXX 定理4.3.3 PLnnXaXa 定理4.3.4 ()()nXXttLnXX 欲证:1 1 nniiPXanY 只须证：()()nYatt 讨论独立随机变量和的极限分布,本指出极限分布为正态分布.设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为1niinYX定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为 20，则当 n 充分大时，有1lim()niinXnnPyy 应用之例:正态随机数的产生；误差分析例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱
6、中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：200120500200 100205001200 100iiPX 1(3.54)=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故1001930
7、1009.629001009.629009301000.821000.82iiPX(3.53)(6.85)=0.99979定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有lim()nnnpnpqPyy是林德贝格勒维中心极限定理的特例.二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：1212210.50.50.50.5 nnP kkP kkknpknpnpqnpq 中心极限定理的应用有三大类：ii)已知 n 和概率，求y；iii)已知 y 和概率，求 n.i)已知 n 和 y，求概率；例4.
8、4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.1850.590850.9669.P Y 例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42./150.5 140150.954
9、2yPYy 2252.y 中解得例4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPYnpn pp0.05/(1)1.645n pp从中解得Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6n n=271例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)5
10、5495500(1)(5)0.010.99P XC0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 0，有22211()()d0liminnxBniniixp x xB11()lim()niiinnXBPyy 林德贝格条件则定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：21210limninniiBE X11()lim()niiinnXBPyy 李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.例4.4.7 设 X1,X2,.,X99相互独立,且服从不同的 0-1分布试求解:设 X100,X101,.相互独立,且与X99同分布,则可以验证Xn满足=1的李雅普诺夫条件，且99991149.56049.56012.57350.00516.66516.665iiiiXPXP 11,100iiiP Xp 99160iiXP99991149.5,16.665,iiiiEXVarX由此得