1、第 第 第 第 1 1 章章章章集合与函数集合与函数集合与函数集合与函数第第 1 章 集合与函数章 集合与函数3 初 等 函 数一、基本初等函数y=xO11xyy=x2O1xy1O1xy=x3y1(1)幂函数幂函数 y=x (为常数)第第 1 章 集合与函数章 集合与函数O1xy1xy Oyxxy11132xy xyO11 121xy xO1y第第 1 章 集合与函数章 集合与函数(2)指数函数指数函数 y=ax (a 0,a1 为常数)(e=2.718281828459045)(3)对数函数对数函数 y=log a x (a0,a 1 为常数)例例 2 y=log10 x=lg x (常用对
2、数)y=log e x=ln x (自然对数)例例 1 y=exxyO1y=axa 1a 1a 10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限nxnn1)1(1则 n 10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101
3、 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001 任意给定一个很小的数 任意给定一个很小的数 ,总存在一个总存在一个 N,当 当 nN 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a N 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a ,则称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛.记作,limaxnn或 xn a(n ).第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 xn a xn a 即 a xn
4、 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|,则则.limaxnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 1 证明 .11limnnn例例 2 证明 .021limnnqqnn,0lim 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001nxnn1)1(1则 n 10 时(从
5、n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001 任意给定一个很小的数 任意给定一个很小的数 ,总存在一个总存在一个 N,当 当 nN 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a N 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a ,则称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛.记作
6、,limaxnn或 xn a(n ).xn a xn a 即 a xn 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|,即 n 1.11因此 0，取 ,则当 n N 时必有11N11111nnnxn，即11limnnn若若 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|,即 n log 2 .11因此 0，取 ,则当 n N 时必有1log2Nnnnx210210，即 .021limnnqqnn,0lim 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|0,取 ,则当 n N 时必有259N)25(5952251252nnnxn,259n .所以当 .259n259
7、 52nx欲使 ,.n259 若若 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|0,使对一切 xn 满足|xn|M.定理 定理 2 2(有界性有界性)若若 xn 收敛收敛,则则 xn 有界有界.定理 2 的逆命题不成立,即有界的数列不一定收敛.例如 xn=(1)n+1 有界,但它是发散的.推 论推 论 无界的数列一定发散无界的数列一定发散.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 从数列 x1,x2,xn,.中按下标由小到大的顺序任意选取无穷多个项 构成的一个新数列 称为 xn 的一个子数列.,21knnnxxxknx 中的 k 表示它是子列中的第 k 项，表示它是
8、原数列中的第 项,显然 n1n2,且对所有的 k 有 nk k.knxknkn定理 定理 3 3 .lim,limaxxaxkknknnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理定理 4 4(数列收敛准则一数列收敛准则一)数列 xn 、yn 、zn ，若 （1）N 0，当 nN 时，有 yn xn zn，（2），则 .azynnnnlimlimaxnnlim例例 1.证明112111lim222nnnnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 单调递增有上界的数列和单调单调递增有上界的数列和单调递减有下界的数列一定有极限递减有下界的数列一定有极限.定理 定
9、理 5 5(数列收敛准则二数列收敛准则二)x2x1Mx3xx4有界数列：有界数列：M 0,使对一切 xn 满足|xn|M.有 上 界有 上 界:K1,使对一切 xn 满足 xn K1.有 下 界有 下 界:K2,使对一切 xn 满足 xn K2.单调数列单调数列：单调递增单调递增:x1 x2 xn xn+1.单调递减单调递减:x1 x2 xn xn+1 .第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 2.证明数列 收敛.nn11e)11(limnnn记可以证明 e 为一无理数，其值为e=2.718281828459045 1101001000100001000002 2.593
10、74 2.70481 2.716922.71815 2.71827.n(1+1n)n第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限数列：n:1 2 3 n xn:x1 x2 x3 xn xn=f(n)nZ+(整标函数)3 3 函 数 的 极 限函 数 的 极 限1.x 时,f(x)的极限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 1.01lim 1nnxnn，11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xOy考虑函数xy101limxx有xy1另外：01limxxny1第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 定义 1.若 0,总 X 0,使得当 x
11、 X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,N Z+,使得当 n N 时,对一切 xn都有|xn a|0,总 X 0,使得当|x|X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 x 时的极限,记作.)(limaxfx由定义 1,2,3 可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限axyOa+a XXy=f(x)一般地,若 ，则函数 y=f(x)的图形有水平渐近线 y=a.axfaxfxx)(lim)(lim
12、或|f(x)a|a f(x)X x X,x X 第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限再如,y=arctan x 有xyO22y=arctan x,2arctan limxx,2arctan limxx.arctanlim不存在而xxxy1y=exO比如 y=e x 有,0elimxx例例 3.证明.2121lim33xxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限2.x x0 时,f(x)的极限例例 4.设 f(x)=x2+1,观察它在 x=0 点附近 x0 的变化.xf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,y=x2+1
13、.1)1(lim20 xx有O1xyxxf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 一般地 是指当 x 无限趋于 x0时,对应的函数值 f(x)无限趋近于 a.f(x)a 可用|f(x)a|刻画,而 x x0则可用|x x0|刻画.axfxx)(lim0描述?例例 5.设 f(x)=x2+1,x0，0,x=0，观察它在点 x=0 附近 x0 的变化.yy=f(x)O1xx x0改用 0|x x0|0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当
14、xx0 时的极限.记作0|xx0|x(x0,x0+).|f(x)a|a f(x)a+;axyOa+a x0y=f(x)x0 x0+第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 第 第 2 章章 函数的极函数的极限限 2 2 数列极限的性质及其收敛准则数列极限的性质及其收敛准则定理 定理 1 1(唯一性唯一性)若数列收敛若数列收敛,则其极限则其极限唯一唯一.证证:反证之.设 xn 收敛,但极限不唯一.不妨设 a N2时,都有bax00则 1,当 n N1 时,都有取 N=max N1,N2,则当 n N 时,同时有,20ab由极限定义,取 则 1,当 n N1 时,都有0|bxn0|
15、axn同理，2,当 n N2时,都有bax00和0|axn0|bxn这时便有ababaxxbnnaxbxnnN 时,有|xn a|N 时的那些 xn 有|xn|=|xn a+a|xn a|+|a|0,使对一切 xn 满足|xn|M.从数列 x1,x2,xn,.中按下标由小到大的顺序任意选取无穷多个项 构成的一个新数列 称为 xn 的一个子数列.,21knnnxxxknx 中的 k 表示它是子列中的第 k 项，表示它是原数列中的第 项,显然 n1n2,且对所有的 k 有 nk k.knxknkn例如数列,131211n，knxxk2中取 ，得一子数列 ,21614121k，定理 定理 3 3 .
16、lim,limaxxaxkknknnn证：“证：“”.设 则 0,N Z+,使得当 n N 时,有 xn a N.knx 因此当 k K 时,有 nk nK N,从而k K 时也有 a 0，当 nN 时，有 yn xn zn，（2），则 .azynnnnlimlimaxnnlim证证:0,N1,当 n N1 时,有|yn a|,由,limlimazynnnn或 a yn a+；取 N0=max N1,N2,N,即|xn a|N2 时,有|zn a|,或 a zn N0 时,有yn xn zna 0,使对一切 xn 满足|xn|M.有 上 界有 上 界:K1,使对一切 xn 满足 xn K1.有 下 界有 下 界:K2,使对一切 xn 满足 xn K2.单调数列单调数列：单调递增单调递增:x1 x2 xn xn+1.单调递减单调递减:x1 x2 xn xn+1 .例例 5.证明数列 收敛。nn11因此要证该数列是单调递增且有上界.证：证：首先可猜测到有,11nnba)(1221nnnnnbabbabaabanaban)(1(移项,便有1)(1(nnbbanaa故得1)1(nnbnabna