1、第41讲 积分的变量替换法问题的引入?计算定积分牛顿莱布尼兹公式计算求导法则：线性运算法则：第41讲 积分的变量替换法问题的引入?基本公式导数公式与积分公式第41讲 积分的变量替换法问题的引入?基本公式导数公式与积分公式第41讲 积分的变量替换法主要内容不定积分的第一类换元法不定积分的第二类换元法定积分的换元法第33讲 泰勒公式的应用不定积分的第一类换元法定理1设具有原函数,可导,则称为不定积分的第一类换元积分公式(也称配元法,凑微分法).?例1求不定积分?第33讲 泰勒公式的应用不定积分的第一类换元法例2求不定积分例3求不定积分?例4求不定积分例5求不定积分第33讲 泰勒公式的应用不定积分的
2、第二类换元法不定积分第一类换元法d?难求易求难求易求?不定积分第二类换元法第33讲 泰勒公式的应用不定积分的第二类换元法定理2设是单调的、可导的函数，并且?，又设?具有原函数，则有换元公式?不定积分的第二类换元积分公式例6求不定积分第33讲 泰勒公式的应用不定积分的第二类换元法例7求不定积分?例8求不定积分?例9求不定积分?（）（）（）第33讲 泰勒公式的应用定积分的换元法定理3设函数在区间上连续，函数满足：(1)；(2)在(或)上具有连续的导函数，且，则()d()()d.baf xxfttt定积分的换元公式第33讲 泰勒公式的应用定积分的换元法()d()()d.baf xxfttt定积分变量
3、替换形式上可以看作为三个变化.依次是：(1)积分区间即积分上、下限要对应变化，即“换元先换限”;(2)在变换下，被积函数变化为.(3)积分元素变化为?.第33讲 泰勒公式的应用定积分的换元法()d()()d.baf xxfttt说明：(1)不定积分换元后需回代，定积分换元不需要回代.(2)当,即区间换为时，结论仍然成立.(3)换元公式也可以反过来用：?(令)或配元(或凑微分)?.配元不换限第33讲 泰勒公式的应用定积分的换元法例10求定积分?例11设函数在上连续，证明?第42讲 积分的分部积分法问题的引入?问题2：试计算?问题1：试计算?.?第42讲 积分的分部积分法主要内容不定积分的分部积分
4、法定积分的分部积分法第42讲 积分的分部积分法不定积分的分部积分法?不定积分的分部积分公式(1)容易求得;(2)比?好求.解决目标：要求：第42讲 积分的分部积分法不定积分的分部积分法?例1求下列不定积分：(1)(2)例2求下列不定积分：(1)(2)例3求下列不定积分：?.(1)(2)?.?第42讲 积分的分部积分法不定积分的分部积分法例4求下列不定积分?,其中 为正整数且.?第42讲 积分的分部积分法定积分的分部积分法定理2设函数与在上有连续的导数，则?定积分分部积分公式?例5求下列不定积分：(1)(2)?第42讲 积分的分部积分法定积分的分部积分法?为奇数 为偶数例6设 为正整数，计算?华
5、莱士公式其中读作 的双阶乘.当 为奇数时，它是从1到 的所有奇数相乘；当 是偶数时，它是从 到 的所有偶数相乘.第43讲 积分计算综合问题的引入?问题1计算积分?问题2计算积分?奇函数周期函数第43讲 积分计算综合主要内容几类积分计算总结奇偶函数的定积分周期函数的定积分第43讲 积分计算综合几类积分计算总结三角函数积分?凑微分法利用三角恒等式第43讲 积分计算综合几类积分计算总结?.例1 计算下列不定积分第43讲 积分计算综合几类积分计算总结根式函数积分代换表达式根式表达式?例2 计算下列不定积分?第43讲 积分计算综合几类积分计算总结有理函数积分?例3计算下列不定积分例4计算不定积分第43讲
6、 积分计算综合奇偶函数的定积分定理1设函数在闭区间上连续.(1)如果为奇函数，那么?(2)如果为偶函数，那么?第43讲 积分计算综合奇偶函数的定积分(1)直接法：如果被积函数就是奇函数或者偶函数，直接按照奇偶函数的定积分公式计算，但要注意积分区间的对称性;定积分中奇偶函数的处理方法:例5计算定积分：(1)?(2)?第43讲 积分计算综合奇偶函数的定积分定积分中奇偶函数的处理方法:(2)拆项法：将被积函数拆成奇偶函数和的形式，在对称区间上对具有奇偶性质的被积函数使用奇偶函数的定积分公式计算;例6计算定积分?第43讲 积分计算综合周期函数的定积分定理2设是以 为周期的连续函数，则对任意实数，有?第
7、43讲 积分计算综合周期函数的定积分例7计算定积分?例8设是以 为周期的周期函数，证明?第44讲 定积分的几何应用问题的引入什么问题可以用定积分解决?（一）能用定积分来描述的量具有什么特征？（二）如何建立这些量的定积分表达式？第44讲 定积分的几何应用问题的引入()yf xO?曲边梯形面积O?变速直线运动的路程O?0?l?同向变力所做的功第44讲 定积分的几何应用问题的引入它们具有的共同特征：(1)它们都是由一个函数及其定义区间决定的量，即分布在区间上的非均匀连续变化的量；(2)分布在区间上的总量等于分布在各子区间上的部分量之和，即具有对区间的可加性.（一）能用定积分来描述的量具有什么特征？第
8、44讲 定积分的几何应用问题的引入微元法分割取近似，作和求极限(2)“作和、求极限”.将各子区间的近似值相加,并求极限.（二）如何建立这些量的定积分表达式？(1)“分割、取近似”.将区间作任意分割，任取一子区间，得到所求量的局部近似值?.第44讲 定积分的几何应用问题的引入微元法解决实际问题的具体步骤第二步 在内任取一小区间,求出这个子区间对应的部分量的一个合理近似值，得到积分微元第三步 得总量 的定积分表达式?.第一步 选取积分变量，并确定其变化区间.第44讲 定积分的几何应用主要内容平面图形的面积体积第44讲 定积分的几何应用平面图形的面积?d?O求由连续曲线和直线?和直线所围成的平面图形
9、的面积.21d()()dAfxf xx故所求平面图形面积21()()d.baAfxf xx第44讲 定积分的几何应用平面图形的面积?O求由连续曲线和直线?和直线所围成的平面图形的面积.21d()()dAgyg yy故所求平面图形面积21()()d.baAgyg yy?d?第44讲 定积分的几何应用平面图形的面积例1 计算由曲线?及所围成的图形的面积.?11?d?11?d?第44讲 定积分的几何应用平面图形的面积例2计算夹在曲线?及?之间，并在直线之下的那部分图形的面积.?1?第44讲 定积分的几何应用平面图形的面积例3求椭圆所围成的图形的面积.22221xyab?d?问题：（1）椭圆的周长等于
10、多少？（2）椭圆的绕x轴旋转所得旋转椭球的体积等于多少？第44讲 定积分的几何应用体积平行截面面积为已知的立体体积y规则几何体非规则几何体体积如何计算？第44讲 定积分的几何应用体积平行截面面积为已知的立体体积y?()A x该立体的横截面的面积是已知的连续函数，过点 及用垂直于轴的平面切得 的一个厚度为的薄片，将它近似看作直柱体，从而得体积微元立体的体积为()Ax截面法?d?()Ax第44讲 定积分的几何应用体积截面法的基本步骤：(1)画一个该立体及典型截面的草图；y()A x?截面法(2)写出的表达式；(3)计算定积分得立体体积.第44讲 定积分的几何应用体积?例4 证明半径为 的球体的体积
11、为?.?第44讲 定积分的几何应用体积例5 两个半径为的圆柱体中心轴垂直相交,求这两个圆柱体公共部分体积.?“牟合方盖”第44讲 定积分的几何应用体积旋转体的体积xOab()yf xyx求连续曲线段()()yf x axb绕轴旋转一周所得旋转体的体积.因垂直于轴的截面是半径为的圆盘,其面积为2()()A xf x故旋转体的体积为2()baVf xdx第44讲 定积分的几何应用体积2221()()()A xfxfx2221()()d.baVfxfxx2().dcVy dy2()()A xy第44讲 定积分的几何应用体积例6 设 是由曲线与直线及 轴所围成的平面区域.(2)求该平面区域 绕旋转一周
12、所得旋转体体积.(1)求该平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体体积;?4?4?1?1?第44讲 定积分的几何应用体积例7 计算由椭圆所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.22221xyab问题：（1）旋转椭球面的面积？（2）一般椭球体的体积？第44讲 定积分的几何应用体积例8 求圆形区域绕 x 轴旋转一周所得222:()()Dxyba ba旋转体的体积.?221ybax222ybax?第44讲 定积分的物理应用问题的引入运载火箭第44讲 定积分的物理应用问题的引入潜水器第44讲 定积分的物理应用问题的引入北斗卫星第44讲 定积分的物理应用主要内容功静压力引力第44讲 定积分的物理应用功
13、变力沿直线做功?设物体在连续变力作用下沿轴从移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.O?ab因此变力在区间上所做的功为?第44讲 定积分的物理应用功例1 从地面垂直向上发射质量为的火箭,当火箭距离地面时，求克服地球引力做的功.如果火箭要脱离地球引力范围，火箭应具备多大的初速度?质点距离地球表面高度为 x 时对地球引力为2012mgRmv=02vgR=3029 8106400.v-=11 2.(/)kms=第二宇宙速度第44讲 定积分的物理应用功例2在一个底半径为,高为,开口朝上的圆锥形容器中盛满了水，问：将水全部提升到高出容器顶面 处时，需做功多少？?第44讲 定积分的物理应用压力液体
14、静压力设液体密度为，深为处的压强:当平板与水面平行时，平板一侧所受的液体静压力为 当平板不与水面平行时，所受液体压力问题就需用积分解决.面积为?的平板 第44讲 定积分的物理应用压力例3如图，有一个宽2m，高3m的长方形平板闸门，其顶边离水面2m，求闸门所受的水压力.?3m?2m2m水面第44讲 定积分的物理应用压力例4洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，底面长、短轴分别为2m和1.5m，长3m，当水箱装满水时,水箱的一个端面所受的压力.?10.751.5m2m第44讲 定积分的物理应用压力Oxy10.750.75x例4解:如图所示建立坐标系,0.75,0.75,x xdx 则这一窄条所受的水
15、压力微元为故17.3()kN任取第44讲 定积分的物理应用引力引力质量分别为的?,?质点,相距.二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.?第44讲 定积分的物理应用引力例5一个水平放置的线密度为的长度为 的均匀细直棒，在其延长线上放置一个质量为的质点，该质点距细直棒最近端点的距离为.(1)求细直棒对质点的引力大小；(2)如果将质点从距细直棒最近端点为处移到无穷远处，求质点克服细直棒引力所做的功.?第44讲 定积分的物理应用引力?2?2例6 设有一长度为,线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距单位处有一质量为的质点，试计算该棒对质点的引力.?d?例6解如图建
16、立坐标系.细棒上小段对质点的引力大小为 dFGxm d22xa 垂直分量为ddcosyFF 22dmxGax 22xaa第44讲 定积分的物理应用引力例6设有一长度为,线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距单位处有一质量为的质点，试计算该棒对质点的引力.?2?2?d?棒对质点的引力的垂直分力为232220d2()lyxFGm aax 22214Gm laal 第46讲 反常积分问题的引入定(常义)积分积分区间有限被积函数有界反常积分推广面积：A()dbaAf xx第46讲 反常积分问题的引入问题：如何计算无界平面图形的面积？1()f xx1()df xx10()df xx无穷区间上的积分无界函数的积分1()dbf xx1()daf xx第44讲 定积分的几何应用主要内容无穷区间的反常积分无界函数的反常积分反常积分的敛散性第46讲 反常积分无穷区间的反常积分定义1(1)设,，若?存在，则称无穷区间反常积分?收敛,记作如果上述极限不存在,就称无穷区间反常积分?发散.(2)设，类似定义第46讲 反常积分无穷区间的反常积分若上式右端至少有一个反常积分为发散,则称无穷区间反常积分?发散.上述三种形