1、第22讲 导数的概念问题引入“问题是数学的心脏”保罗哈尔莫斯保罗哈尔莫斯(Paul Halmos)19162006问题1：已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度.问题2：求曲线的切线.由解决相关问题而发展起来的数学理论称为微分学！第22讲 导数的概念问题引入“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了！”弗里德里希冯恩格斯微积分是微分学和积分学的总称.它是由牛顿与莱布尼兹在研究物理和几何问题的过程中总结前人的经验，于十七世纪后期建立起来的.第22讲 导数的概念主要内容问题求解导数的定义及几何意义导数存在的条件导函数第22讲
2、导数的概念问题的求解问题1 求变速直线运动的瞬时速度经过的路程匀速直线运动的速度:v经过的路程所花的时间花费的时间第22讲 导数的概念问题的求解变速直线运动的平均速度：在时刻的瞬时速度为第22讲 导数的概念问题的求解问题2 求曲线的切线欧几里得定义圆锥曲线的切线：和曲线只接触一点而且位于曲线一边的直线.第22讲 导数的概念问题的求解 割线的极限状态一般曲线的切线第22讲 导数的概念问题的求解 割线的极限状态割线的斜率：切线的斜率：切线方程一般曲线的切线第22讲 导数的概念问题的求解曲线切线的斜率问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.瞬时变化率变速直线运动的瞬时速度第22讲 导数的
3、概念导数的定义及几何意义定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，其极限值称为函数在处的导数，记为0()fx或0,xx xy0d,dx xyx0d().dx xf xx若上述极限不存在，则称函数在处不可导.第22讲 导数的概念导数的定义及几何意义变速直线运动的瞬时速度切线的斜率0()s t0()fx第22讲 导数的概念导数的定义及几何意义切线方程：导数的几何意义如果函数在点处可导，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率.0 x00(,()xf x()f x0()fx()yf x000:()()()Tlyfxxxf x0()tanfx第22讲 导数的概念导数存在的条件0
4、()fx0()fx左导数右导数定理1 函数在处可导的充要条件是它在的左、右导数存在且相等0 x0 x()f x导数第22讲 导数的概念导数存在的条件注：连续是可导的必要条件，但不是充分条件.定理2若函数在可导，则一定在处连续.()f x0 x()f x0 x例1函数在 x0处连续但不可导.-2-11212-2-11212-1-2第22讲 导数的概念导数存在的条件412345123-1-2例2求常数，使函数在 x0处连续可导.第22讲 导数的概念导函数导函数的定义式为:()fx定义2如果函数在内的每一点都可导，则称函数在内可导.如果函数在内可导，且与都存在，则称函数在闭区间上可导.导数对应的函数
5、称为原来函数的导函数，简称导数，记为第22讲 导数的概念导函数例3求常值函数（为常数）的导数例4求函数的导数例5证明函数在处均可导-21-4224-1-22yx2yx211221121yx第23讲 导数的计算问题引入两个重要极限0sinlim1xxx两个重要导数公式第23讲 导数的计算主要内容求导法则基本初等函数求导公式导数综合计算第23讲 导数的计算求导法则函数运算四则运算、求反函数运算、复合运算四则运算的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则第23讲 导数的计算求导法则四则运算的求导法则（2）（1）（3）设函数均在点处可导，则、定理1和均在点处可导，且有第23讲 导数的计算求导法则（4
6、）（5）（6）（C为常数）；（7）求正切函数的导数例1四则运算的求导法则第23讲 导数的计算求导法则反函数的求导法则（这里）处可导，且有设函数为函数的反函数，若定理2在点处可导，且，则函数在点1()()fxy或写作ddyx1.ddxy第23讲 导数的计算求导法则反函数求导法则的几何解释xyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xxxyO()yf xx向左旋转90度水平翻转第23讲 导数的计算求导法则求反正弦函数的导数例221(arcsin).1xx 21(arccos).1xx 例
7、3 求函数的导数1(log)lnaxxa 第23讲 导数的计算求导法则复合函数的求导法则复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.()()xyf ux定理3设有复合函数，若函数在处可导，函数在处可导，则复合函数在处可导，且有或ddddddyyuxux 链式法则第23讲 导数的计算求导法则()()()xyf uvx()()()xyf uvxddddddddyyuvxuvx或记作链式法则（沿线相乘）复合函数求导法则可以推广到多重复合的情形.则该复合函数可导，且有和的复合得如三个可导函数复合函数yuvuyvuxxv第23讲 导数的计算求导法则例4 求函数的导数.1aaxa
8、x例5 求函数的导数.第23讲 导数的计算基本初等函数求导公式常值函数的导数幂函数的导数指数函数的导数对数函数的导数基本初等函数的求导公式第23讲 导数的计算基本初等函数求导公式三角函数的导数反三角函数的导数第23讲 导数的计算导数综合计算例6求下列函数的导数：2(3)ln(1)yxx第24讲 高阶导数问题的引入 质点在时刻的瞬时加速度为质点作变速直线运动的速度与加速度设质点作变速直线运动的路程关于时间的函数为 质点在时刻的瞬时速度为?第24讲 高阶导数问题的引入5?2262266404404?直角坐标方程所确定函数的导数第24讲 高阶导数问题的引入?2242240440参数方程所确定函数的导
9、数第24讲 高阶导数主要内容高阶导数隐函数的导数参数方程确定函数的导数第24讲 高阶导数高阶导数定义1设函数在区间内可导，若极限?存在，则称函数在处二次可导，该极限称为函数在处的二阶导数，记为或?函数在处的三阶导数第24讲 高阶导数高阶导数函数在处的阶导数?二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，也可以记作：第24讲 高阶导数高阶导数例1求函数?的阶导数.?123?1?2?310203040?10任何 次多项式的阶导数为0，而且反过来也是对的，即若?，则为次数不超过的多项式任何 次多项式的阶导数为0，而且反过来也是对的，即若?，则为次数不超过的多项式第24讲 高阶导数高阶导数?)?例2求函数的阶导
10、数.例3 求函数的阶导数.第24讲 高阶导数高阶导数莱布尼兹公式 设函数和均存在 阶导数，则有?这里?例4设?，求?第24讲 高阶导数隐函数的导数显函数:或隐函数:对于方程及平面上的矩形区域，若 当时，存 在 惟 一 的，使得，则称方程在 上确定一个隐函数.?abcdxy第24讲 高阶导数隐函数的导数例5设是由方程?确定的隐函数，且满足?，求对应的曲线在?处的切线方程3?113113320220201231230第24讲 高阶导数隐函数的导数假设由方程所确定的函数为，则把它回代回方程中，所得的恒等式为.隐函数求导法利用复合函数求导法则，对上式两端同时对自变量求导，再解出所求导数?.这样求导数的
11、方法称为隐函数求导法.第24讲 高阶导数隐函数的导数对数求导法例如，求函数?的导数.?对函数?两边取对数，得对方程两边同时关于 求导数，得例6求函数?的导数第24讲 高阶导数参数方程确定函数的导数设函数由参数方程确定?例7求抛物线?在和处的切线方程例8设函数由参数方程确定，求?第25讲 局部线性化与微分问题的引入?(?)=lim?(?)?(?)?=?+?+?=?(?)?+?(?)?(?)?即?+?以直代曲=?(?)导数定义：局部线性化函数?局部线性化?(?)第25讲 局部线性化与微分问题的引入一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长?由?变到?+?,则其面积?=?(?)的增量为故关于?的线性
12、主部?0时为高阶无穷小?=?+?=2?+?2?.?=?第25讲 局部线性化与微分主要内容微分的概念微分在近似计算中的应用一阶微分形式的不变性高阶微分第25讲 局部线性化与微分微分的概念定义1 设函数?=?(?)在?的某邻域?,?+?内有定义，若存在与?无关的常数?，使函数?=?(?)在点?处的增量?=?(?+?)?(?)可以表示为?=?(?+?)?(?)=?+?(?)(?0),则称函数?=?(?)在?处可微（或可微分），?称为?=?(?)在点?处的微分，记为d?|?或 d?(?)|?,即 d?|?=?若是在一般点?处的微分，则简记为 d?=?第25讲 局部线性化与微分微分的概念例1 设?(?)
13、=?，证明?(?)在任何点?处可微，且d?(?)|?=?函数?=?(?)在一般点?处的微分则写成d?=?d?或 d?(?)=?d?第25讲 局部线性化与微分微分的概念定理1 设函数?=?(?)在?的某邻域?,?+?内有定义，则?=?(?)在?可微的充要条件是?=?(?)在?处可导，且?=?(?)在点?处的微分为d?|?=?(?)d?或 d?(?)|?=?(?)d?一般地，若函数?=?(?)在某区间中的任意点?处可导，则?=?(?)在点?处的微分为d?=?(?)d?或d?(?)=?(?)d?由此得到d?d?=?(?)d?(?)d?=?.或第25讲 局部线性化与微分微分在近似计算中的应用若?=?(
14、?)在点?处可微，则对于充分小的|?|，有近似公式?+?+?.它说明：用线性函数?+?来近似?+?，所产生的误差?=|?(?+?)?(?)+?(?)?|是?的高级无穷小，即?=?(?)(?0)()()()()f xf xfxxx例2 利用微分计算 sin3030?,1.05的近似值.第25讲 局部线性化与微分微分在近似计算中的应用常见的近似公式有|?|1：(1)(2)(3)(4)(5)第25讲 局部线性化与微分微分在近似计算中的应用例3 将麦克风的插头视为圆柱形，其截面半径?=0.12cm，长?=4cm，为了提高它的导电性能，要在插头的侧面镀上一层厚为?=0.001cm的纯铜,试估算一下镀一个
15、这样的插头需要多少克铜？（铜的比重为?=8.9g cm?）所需要的铜为?=?+?d?d?=2?=0.12cm,?=4cm,?=0.001cm=0.02684?第25讲 局部线性化与微分一阶微分形式的不变性定理2(四则运算)设函数?(?),?(?)在?处可导，则?(?)+?(?)、?(?)?(?)和?(?)?(?)(?(?)0)在?处可微，且(1)d(?+?)=d?+d?；(2)d(?)=?d?+?d?；(3)d?=?.这里为书写方便我们将d?(?)简记为d?第25讲 局部线性化与微分一阶微分形式的不变性定理3(复合运算)设有复合函数?=?(?)，其中?=?(?)和?=?(?)均可微，则函数?=
16、?(?)也可微，且d?=?d?.d?=?(?)d?d?=?d?无论是自变量，还是中间变量，微分公式的形式保持不变，将此性质称为微分形式的不变性例4 利用微分的形式不变性求函数?=?的微分?第25讲 局部线性化与微分一阶微分形式的不变性例5 将下面给出的微分形式写成某一函数的微分：(1)?d?;(2)?d?;(3)cos(5?1)d?;(4).11+2?d?(1)?d?(2)?d?例5解=13d?=d13?=d12?=12?d(2?)第25讲 局部线性化与微分高阶微分如果函数?=?(?)在?处二阶可导，则d?=?d?在?处可微，且微分为d d?|?=?(?)d?d?称之为函数?=?(?)在?处二阶微分，记为：d?|?=?d?如果?=?(?)在?处具有?阶导数，类似有?阶微分公式：d?=?(?)d?即d?d?=?(?)=?(?)d?第26讲 导数在实际问题中的应用问题的引入导数?(?)=lim?(?)?(?)?的实际意义 种群增长率种群数量关于时间的变化率 电流电量关于时间的变化率 流量流体体积（质量）关于时间的变化率 化学反应速度物质浓度关于时间的变化率 边际经济变量关于产品数量的变化率