1、differential equation 00),(yyyxfyxx第第5 5章章 微分方程微分方程 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 2 问题的提出问题的提出 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 小结小结 思考题思考题 作业作业 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第第5 5章章 微分方程微分方程 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 3 利用函数关系可以对客观事物作定量分析利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观而根据问题所服从的客观 含有未知函数的导数或微分的关系式含有未知函数的导数或微分的关系式
2、,把这样的把这样的 关系式称为关系式称为 对它进行研究确定出未知对它进行研究确定出未知 实际上就解决了最简单实际上就解决了最简单 不能直接找出所需要的函数关系不能直接找出所需要的函数关系,只能列出只能列出 牛顿和莱布尼茨确牛顿和莱布尼茨确)(xfy 求解问题求解问题.微分方程微分方程.规律规律,函数的过程就是函数的过程就是 的微积分运算的互逆性的微积分运算的互逆性,的的微分方程微分方程 解微分方程解微分方程.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 4 解解 xxy2dd xxyd2,2Cxy 即即求得求得可直接积分的方程可直接积分的方程.12 xy,1 C)(xyy 例例 一曲线通过点一
3、曲线通过点),2,1(且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出 设所求曲线为设所求曲线为 所求曲线方程为所求曲线方程为 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 5 解解,dd22mgtsm,0时时 ttsvdd.21212CtCgts ,0 s1Cgt ,01 C.02 C0dd tsv可直接积分的方程可直接积分的方程 例例 设有一质量为设有一质量为m的物体的物体,受重力作用垂直受重力作用垂直 取坐标系如图所示取坐标系如图所示.下落下落.试求物体的运动规律试求物体的运动规律.).(ts
4、s 设设t 秒时刻落体的位移为秒时刻落体的位移为 则由牛顿第二定律则由牛顿第二定律,得得)(tss sO即即,dd22gts(其中其中g为重力加速度为重力加速度)两边积分两边积分 再两边积分再两边积分 0.212gts 0 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 6 前面所学的不定积分前面所学的不定积分,实际上就是求解实际上就是求解 有些微分方程虽不象有些微分方程虽不象 但经过化简但经过化简,可以变成以上的形式可以变成以上的形式.这些方程也可看作可直接积分的方程这些方程也可看作可直接积分的方程.这样简单这样简单,最简单的一类微分方程最简单的一类微分方程.5.1 微分方程的基本概念微分方程
5、的基本概念 7 如如 xyy 0dd)(2 xxtxtxyyye32 yxxz 二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念 凡含有未知函数的导数凡含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程称的方程称 未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为 方程中所出现的导数的最高阶数称方程中所出现的导数的最高阶数称 微分方程微分方程.常微分方程常微分方程;未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程偏微分方程.微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶 一阶一阶 二阶二阶 一阶一阶 也简称也简称方程方程.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 8 代入微分方程能使方程成为恒等式
6、的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 称为称为微分方程的解微分方程的解.微分方程的解的分类微分方程的解的分类:(1)通解通解 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程,2Cxy .12 xy,2ddxxy 通解通解 通解通解 特解特解 特解特解,dd22gts 如方程如方程.21212CtCgts .212gts 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 9 初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件用来确定任意常
7、数的条件.注注 通解和特解是一般和特殊的关系通解和特解是一般和特殊的关系.曲线通过曲线通过点点(1,2).如前例如前例,初值问题初值问题(柯西问题柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象解的图象 通解的图象通解的图象 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 10 是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶 二阶二阶 0000,),(yyyyyyxfyxxxx是过定点且在定点的切线的斜率为定值是过定点且在定点的切线的斜率为定值 几何意义几何意义 几何意义几何
8、意义 的积分曲线的积分曲线.一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy已解出最高阶导数的微分方程已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论今后讨论 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 11 解解 txdd 22ddtxxtx和和将将22dd.0dd,00的特解的特解 tttxAxktkCktkCcossin21 ktCkktCksincos2212 例例 的表达式代入原方程的表达式代入原方程,0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.0dd222的解的解 xktx并满足初始条件并满足初始条件 ktC
9、ktCxsincos21 验证：函数验证：函数是微分方程是微分方程 因为因为 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 12 ktCktCxsincos21 故故Axt 0.02 C所求特解为所求特解为.cosktAx ,0dd222 xktx且为且为 通解通解.0dd0 ttx又又1CA 而而 是原方程的解是原方程的解,0dd,00 tttxAxktkCktkCtxcossindd21 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 13 试求下列微分方程在指定形式下的解试求下列微分方程在指定形式下的解:.e,023的解的解形如形如rxyyyy 例例 解解,eyyrx 求求将将得得,erx
10、ry ,eyyrx 求求将将得得,e2 rxry yyy ,将将代入微分方程中代入微分方程中,得得 0232 rr0)1)(2(rr1,221 rr得两个解得两个解.e,e221xxyy 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 14 例例 求含有两个任意常数求含有两个任意常数C1,C2的曲线族的曲线族 满足的微分方程满足的微分方程.解解 xxCCy221ee 将将 求导得求导得 xxCCy221ee ,e2e221xxCCy .e4e221xxCCy 所求的微分方程所求的微分方程,的式子联立的式子联立、将将yyy .02 yyy便得到便得到 求曲线族满足的微分方程求曲线族满足的微分方程,
11、具体方法是具体方法是求导数求导数,并消去任意常数并消去任意常数.所以所以,若曲线族中若曲线族中含有两个任意常数含有两个任意常数,则需求到二阶导数则需求到二阶导数.最后最后,看一个相反的问题看一个相反的问题,21CC、消去消去 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 15 微分方程微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 微分方程的解微分方程的解 通解通解 初始条件初始条件 特解特解 初值问题初值问题 积分曲线积分曲线 三、小结三、小结 微分方程的基本概念微分方程的基本概念:5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 16 思考题思考题(是非题是非题)微分方程的通解是否包含它所有的解微分方程的
12、通解是否包含它所有的解?非非 解答解答 微分方程的通解不一定否包含它所有的解微分方程的通解不一定否包含它所有的解.例如例如,微分方程微分方程 0d)3(d)4(234 yyxxyx的通解为的通解为.112132Cyyxx 其中其中C为任意常数为任意常数.的通解为的通解为 但它不能包含方程的解但它不能包含方程的解:.00 yx或或 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 17 作业作业 习题习题5.1(1385.1(138页页)5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 18 举举 例例 小结小结 思考题思考题 作业作业 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 第第5 5章章
13、微分方程微分方程 应应 用用 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 19 xxyyd)(d)(如果一阶微分方程如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与等式的每一边仅是一个变量的函数与 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或 可以写成可以写成 0),(yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式 特点特点 这个变量的微分之积这个变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一、举一、举 例例 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 20 可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是
14、:分离变量分离变量,两边积分两边积分 其中其中C为任意常数为任意常数.),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解 分离变量法分离变量法.;d)(d)(的形式的形式把方程化为把方程化为xxyy 1.2.由上式确定的函数由上式确定的函数(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为 将上式将上式 可分离变量方程的初值问题可分离变量方程的初值问题 00,d)(d)(yyxxyyxx 的解为的解为;d)(d)(Cxxyy xxyyttuu00.d)(d)(5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 21 例例 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分
15、离变量分离变量 xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd12 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 22 考研数学三考研数学三,四四(4分分)的特解为的特解为满足初始条件满足初始条件微分方程微分方程2)1(0 yyyx解解 分离变量分离变量 两端积分两端积分 可分离变量方程可分离变量方程 xxyydd yyd xxdxylnln Cln xCy 为方程的通解为方程的通解.所以所以 12.2 C.2 xy 5.1 微分方
16、程的基本概念微分方程的基本概念 23 xCxy e考研数学一考研数学一,二二 填空填空4分分 解解 xxxyyd1d 两边积分两边积分 Cxxylnlnln 分离变量分离变量 此方程为可分离变量方程此方程为可分离变量方程 xCx ln得通解为得通解为.exCxy 的通解是的通解是微分方程微分方程xxyy)1(5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 24 注注 应用问题建立微分方程的方法应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种方法大体有两种 第一种方法第一种方法 常见的物理定律有力学、热学、光学、常见的物理定律有力学、热学、光学、直接利用物理定律、经济学知识或几何条件直接利用物理定律、经济学知识或几何条件 第二种方法第二种方法 取小元素分析取小元素分析,然后利用物理定律列出方程然后利用物理定律列出方程(类似于定积分应用中的元素法类似于定积分应用中的元素法).列出方程列出方程,电学的定律电学的定律;5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 25 两端积分两端积分 解解,ddtM由题设条件由题设条件)0(dd衰变系数衰变系数 MtMtMMdd ,dd tMM,00MMt 代入代入