1、第第3 3章章 导数与微分导数与微分 0 xx TxyO)(xfy CN M 2 引例引例 导数导数(derivative)的定义的定义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 第第3 3章章 导数与微分导数与微分 微分微分(differential)的定义的定义 可微与可导的关系可微与可导的关系 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 求导数与微分举例求导数与微分举例 单侧导数单侧导数 函数可微性与连续性的关系函数可微性与连续性的关系 小结小结 思考题思考题 作业作业 微分的几何意义微分的几何意义 3 例例 直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动一质点作直
2、线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的 试确定试确定t0时的瞬时速度时的瞬时速度v(t0).),()(00tsttss )(tv 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度 时刻的速度时刻的速度.解解 .ts 若运动是若运动是匀速的匀速的,平均速度就等于质点在每个平均速度就等于质点在每个 一、一、引例引例 关系关系s=s(t).质点走过的路程质点走过的路程,00ttt 从时刻从时刻 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 4 此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算 它越近似的它越近似的 定义为定义为 )(0tv,)()(lim000ttsttst
3、并称之为并称之为t0时的瞬时速度时的瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,)(tv 平均速度平均速度 是这段是这段 时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,t 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢.因此因此,人们把人们把 t0时的速度时的速度 注注 方法方法,ts 0lim t 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 5 例例 割线的极限位置割线的极限位置 对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线若已知平面曲线 y=f(x),如何
4、作过曲线如何作过曲线 初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.该点的切线该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线 即为圆周过即为圆周过 但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线.如与抛如与抛 物线有唯一交点的直线不一定是切线物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.上点上点M(x0,f(x0)的切线呢的切线呢.法国数学法国数学 家费马在家费马在1629年提出了如下的定义和求法年提出了如下的定义和求法,P.de Fermat 1601-1665 圆满地解决了这个问题圆满地解决了这个问题.从而从而 3.1 导数与微分的概念
5、导数与微分的概念 6 0 x处切线的斜率处切线的斜率.已知曲线的方程已知曲线的方程 y=f(x),确定点确定点M(x0,y0)如果割线如果割线MN绕点绕点 极限位置即极限位置即,0MN称称MT为曲线为曲线C在点在点 如图如图,.0 NMTx TxyO)(xfy CN MM旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 MT,M处的处的切线切线.3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 7 00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k00)()(xxxfxf 割线割线MN的斜率为的斜率为,0 xx 切线切线MT的斜率为的斜率为 C沿曲线沿曲线,M0 xx TxyO)(xfy CN M
6、设设M(x0,y0),N(x,y).0limxx 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 8 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量 1.在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数y=f(x),求求 y 关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2.计算方法上计算方法上,(1)当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法.(2)当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时,需作平均变化率需作平均变化率 xyx 0lim 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问题题,其精确描述和计算都离不开此式所
7、其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算规定的这一运算.上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,xxfxxfx )()(lim000的极限运算的极限运算:3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 9 定义定义3.1 xxfxxfxy )()(00,00时时变到变到当自变量从当自变量从xxx 之比之比x 平均变化率平均变化率.二、导数的定义二、导数的定义 与自变量的增量与自变量的增量的增量的增量)()(00 xfxxfy 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 设函数设函数y=f(x)在在x0的某个邻域内有的某个邻域内有 定义定义,称为函数称为函数y
8、=f(x)的的 函数函数y=f(x)10,0 x如如,0 xxy )(0 xf 中的任何一个表示中的任何一个表示,)(0 xfxy 存在存在,如如 平均变化率的极限平均变化率的极限:)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf.)()(lim000 xxfxxfx 函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率 0 x(derivative)或有导数或有导数.可用下列记号可用下列记号 则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在在x0处的导数处的导数.并说并说 f(x)在在x0处可导处可导 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 3.1 导数与
9、微分的概念导数与微分的概念 11 处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为 有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无 注注 要注意导数定义可以写成多种形式要注意导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf 当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x)在在x0 在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.)1()()(lim)(0000 xxfxxfxfx x x x
10、hhhh h h 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 12 )(0 xf关于导数的说明关于导数的说明 或或 如果如果 x0=0,可以写成可以写成)0(f 特别特别是是,xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xx 0,)()(lim000 xxxfxfxx .)0()(lim0 xfxfx 0 xx(1)点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间 I 内的每点处内的每点处 都可导都可导,就称函数就称函数 f(x)在开区间
11、在开区间 I 内可导内可导.13 xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf,y 记作记作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即 或或)(xf 0 xx(3)对于任一对于任一 都对应着都对应着 f(x)的一个确定的一个确定,Ix 的导数值的导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f(x)的的 导函数导函数.3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 14 35例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可导可导在在设设解解 xafxafx5)()3(lim)1(0 )(
12、)3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af .2)()(lim,2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解 hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 21.1 h hxfhxfxfh)()(lim)(0000 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 15 导数导数 微分微分 导数与微分导数与微分 表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起 的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值所引起的改变量
13、的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.三、微分的定义三、微分的定义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 16 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且为且为 A x)1()2(x x 2)(x 问题的引出问题的引出 实例实例 x 线性函数线性函数(linear function)xx 0 xx 0的线性的线性(一次一次)函数函数,x 当当,的次要部分的次要部分且为且为 A 很小时可忽略
14、很小时可忽略.2,0 xxAx 很小时很小时当当的高阶无穷小的高阶无穷小,3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 17 再如再如,03时时处的改变量为处的改变量为在点在点设函数设函数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x y),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值.y 求函数的改变量求函数的改变量.320 xx 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 18 xAy ,0 A当当yxA 一定条件一定条件,线性函数线性函数,对一般函数对一般函数 y=f(x),则无论在理
15、论分析上还是在实际应用则无论在理论分析上还是在实际应用).(xo 则函数的增量则函数的增量 y可以表示为可以表示为 如果存在这样的近如果存在这样的近 似公式似公式,中都是十分重要的中都是十分重要的.)(x o,很小时很小时且且 x 对一般函数对一般函数 y=f(x),如果如果 y=f(x)满足满足 xAy其中其中A是不依赖于是不依赖于 x的常数的常数,因此因此A x是是 x的的 且且 y与它之差与它之差 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 19 定义定义3.2 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果 则称函数则称函数 xA 0dxxy
16、.d0 xAyxx 即即可微可微(differentiable),A为微分系数为微分系数),(d0 xf或或记作记作 微分微分(differential),并称并称 为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0相应于自变量增量相应于自变量增量 x的的 设函数设函数 y=f(x)在某区间内有定义在某区间内有定义,y=f(x)在点在点 x0)(xoxA 成立成立(其中其中A是与是与 x无关的常数无关的常数),3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 20 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0可微可微,),()(00 xfhxfy 必有必有时时则当则当,0h.d)(的等价无穷小量的等价无穷小量是是hyA.d)(高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比hyB.d)(高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比hyyC .d)(的同阶无穷小量的同阶无穷小量是是hyyD 选择题选择题 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 21 定理定理3.1 证证),(xoxAy .A.)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfA 且且),(0 xfA 且且 xyxxoA )(0lim x 0lim x因为因为 f(x)