1、第十五章 新增内容和创新题目五、创新题目三解答题共6题1.北京卷理20集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为证明：，且;证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：P.证明：I设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(II)设， ，. 记，由I可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，那么 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数。III,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0那么=由于所以从而2. 北京卷文20集合对
2、于，定义A与B的差为A与B之间的距离为当n=5时，设，求，；证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数解：=1,0,1,0,1设是使成立的的个数。那么3.广东卷理21设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离(A,B)为(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(),B()假设点Cx, y是平面上的点，试证明+;在平面上是否存在点C(x, y),同时满足+= ； = ；假设存在，请求所给出所有符合条件的点；假设不存在，请予以证明。解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.当且仅当时等号成立
3、，即三点共线时等号成立.2当点C(x, y) 同时满足P+P= P，P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。4.江苏卷23ABC的三边长为有理数1求证cosA是有理数2对任意正整数n，求证cosnA也是有理数解析 此题主要考查余弦定理、数学归纳法等根底知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。总分值10分。方法一1证明：设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。2当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是
4、有理数，是有理数，是有理数。 即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。方法二证明：1由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。2用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由1知是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。5.上海卷理22假设实数、满足，那么称比远离.1假设比1远离0，求的取值范围；2对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；3函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的根本性质结论不要求证明.解析：(1)
5、 ；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；(3) ，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期，3函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ，4函数f(x)的值域为6.上海卷文22假设实数、满足，那么称比接近.1假设比3接近0，求的取值范围；2对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；3函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性结论不要求证明.解析：(1) x(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ