1、上 海 教 育 出 版 社必修第四册普通高中教科书S H U X U ES H U X U E上 海 教 育 出 版 社必修第四册普通高中教科书 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系.电话021-64373213全国物价举报电话：12315主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 徐斌艳 陆立强 朱
2、雁 蔡志杰 鲁小莉 魏述强 高 虹 责任编辑 李 达装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（封面一幅图，P6一幅图，P13一幅图，P14一幅图，P20一幅图，P27一幅图，P28一幅图，P30一幅图，P32一幅图，P35一幅图，P36一幅图，P37一幅图，P38一幅图）；教材编写组（P16六幅图，P17七幅图）插图绘制 王 捷 朱泽宇普通高中教科书 数学 必修 第四册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2020年12月第1版印次2021年12月第3次开本890124
3、0 1/16印张3.5字数60 千字书号978-7-5720-0295-3/G0218定价4.95 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学
4、习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精”“简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清
5、新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别书 书 书前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能
6、够说真正弄懂了数学吗？！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本
7、套教材涵盖普通高中数学课程标准（年版 年修订）所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 引论第部分数学建模活动案例红绿灯管理“诱
8、人”的优惠券车辆转弯时的安全隐患 雨中行 第部分数学建模活动犃出租车运价 家具搬运 登山行程设计 第部分数学建模活动犅包装彩带 削菠萝 高度测量 外卖与环保 附录附录数学建模活动报告的写作 附录数学建模活动报告样例 附录有关数学建模活动中数学内容的说明 书 书 书引论 引论本册教材的主题是数学建模数学之所以具有广泛的应用性，是因为它可以为其他学科、生产实践及日常生活提供多样化的数学模型其实，同学们对数学模型应该并不完全陌生，在本套教材各章中经常可以看到它的身影例如，在学习函数时，我们已经学习了利用函数模型来解决一些实际问题；在学习统计时，通过观察统计图了解数据的整体形态、发现数据的变化规律和数
9、据之间的联系，进而构建合适的统计模型，以预测数据的发展趋势，等等但是，上述这些内容大多只是解答教师或者课本中提出的问题，较多地侧重于用数学模型来解决实际问题，是从学习知识这一层面展开的，并没有充分展示建立数学模型即数学建模的过程，因而难以深入体验建立一个正确的数学模型的反复、曲折及艰辛的全过程数学建模是一个实践的过程，只有通过参加实际的数学建模活动，才能真正领悟其中的真谛和意义正因为如此，本册数学建模教材不像其他各册教材那样按部就班地讲授知识，而是激发同学们参加数学建模活动的兴趣，并帮助同学们更好地参加此类活动开展数学建模活动的宗旨不是进一步灌输更多的数学知识，也不是特别强调这些应用课题的重要
10、性，而是把这些应用课题作为载体，使同学们通过开展相应的数学建模活动，经历和体验数学建模的全过程，逐步领悟数学建模的真谛通过本册教材的学习，同学们将认识数学模型和数学建模之间的联系与区别，且通过完整的数学建模活动，了解数学模型的丰富内涵，不仅加深对相关数学知识和技能的理解，更可以学习如何利用数学建模来解决实际问题什么是数学建模每位同学自小学开始就一直与数学相伴从基本的四则运算到复杂的幂运算、对数运算，从解方程到解不等式，从算术、代数、平面几何到函数、三角、立体几何、解析几何和概率统计，同学们的数学知识越来越丰富，解题能力也越来越强，相信大家已经有扎实的基础和充足的信心来迎接实际问题的挑战实际问题
11、是如何呈现的呢？同学们比较熟悉的可能是这样一类应用题：“甲、乙两人同时从山脚开始登山，他们各自到达山顶后就立即下山假设甲比乙速度快，而他们两人的下山速度都是各自上山速度的犪倍如果出发犫小时后，甲与乙在离山顶犮米处相遇，而当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰问：甲回到出发点共用多少小时？”这类题目的提问直截了当，已知条件明确充分，解题要求清晰，答案存在且唯一解答这类题目的主要目的是检查是否掌握了教材上的知识、技能或方法引论 现实生活中，与上述登山活动相关的情境可能是这样的：“某人计划登上一座名山的山顶，但为安全考虑，必须当天天黑以前返回山下驻地请选择一条比较合理的线路并规划具体往返时间，并从数学角度
12、说明这一规划的合理性”这个问题和上述应用题有以下明显的不同：（）问题不够明确：什么是合理的线路？是时间最短、体力最省、景色最美，还是费用最省？（）条件并不完备：未给出天黑时间、步行速度、有哪些可选择的线路、每条线路的长度、上下山难度的差别、沿途是否有补给站等（）细节尚需补充：景区是否有索道？如有，其开放时间、排队情况、所需费用等亦不明确（）答案常常不唯一：以上要素将直接影响到问题的答案，对于不同的合理性标准、不同的季节，答案往往是不同的（）答案形式不同：应用题答案用一个确定的数往往就够了，而本问题的解答需要包括：合理性标准及其选择依据，各项条件如何确定，有无考虑索道等其他因素，以及线路和出发时
13、间的确定过程等以上现实生活中的“登山问题”就可归结为一个数学建模问题一般来说，数学建模（）是对某个现实问题经过必要的简化、合理的假设得到一个数学问题，称为数学模型（），再求解所得到的数学问题，然后根据实际情况验证该数学答案是否合理；在合理性得不到保证时，还要进行反复迭代和修正模型因此，数学建模是一个建立数学模型的过程，而数学模型是数学建模的一个结果数学建模的全过程一般包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解模型得到答案、回到实际情境验证答案、如果答案不合理则加以改进等步骤，如此循环直到实际情境中的问题得到合理的回答（图）在本册教材中，这个过程统称为数学建模活动图
14、数学建模活动过程图示如何开展数学建模活动数学建模问题来自生活、社会、经济、工程、科学等不同领域，解决问题的数学方法引论 事先并无规定，往往需要根据具体情况综合、灵活地运用代数、几何、三角、统计等数学知识；一般也没有统一的答案，从不同角度出发，各显神通，完全可能会得到不同的解答因此，参加数学建模活动不应追求得到统一的“标准答案”，而应在过程中不断提高自己的数学建模能力与水平，充分发挥自己的创新精神和意识，不求“最好”，只求“更好”在学习数学建模时，需要注意以下几点：通过研读数学建模活动案例，整体把握数学建模的全过程鉴于数学建模问题的综合性和多样性，在学习过程中不能把有关内容分解为定义、性质（条件
15、、结论）等一个个孤立的知识点来理解和操练要学会从具体案例出发体会数学建模的完整过程，再进一步分析各步骤的作用和特点勇于参加数学建模活动，增强数学应用意识只有下到水里才能学会游泳理解和掌握教材中详细阐述的案例可以为我们打下一个数学建模的基础若要真正掌握，还需要亲自动手做建模课题、参加数学建模活动建模活动除了可以在教师指导下进行，更提倡同学们增强数学建模的自觉性，注意在日常生活和社会实践中发现问题、提出问题、建立模型、解决问题积极参与团队讨论，培养合作探究精神数学建模问题一般比较复杂，需要综合应用多学科的知识，并涉及诸多环节，适合用团队合作的方式加以解决团队的每位成员应增强团队合作的意识，充分发挥
16、自己的特长，并认真倾听队友的意见，通过集体智慧使得对问题的理解更准确，模型更合理，解答更创新，表达更规范完成数学建模活动报告，积累数学活动经验数学建模活动结束后，应该及时对已有工作进行小结，形成完整的数学建模活动报告报告一般包括标题、实际情境、提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、改进模型和参考文献等内容报告可回顾记录建模活动的全过程，积累数学活动经验，同时方便他人通过阅读报告了解建模的方法、结论及其特点报告应使用简明准确的语言，综合应用数学公式、图像、表格等各种表达形式，以提高可读性和科学性数学建模活动报告是评价数学核心素养的重要依据关于本册教材数学建模活动与科学、社会、经济、工程乃至日常生活紧密相连，背景五花八门，问题层出不穷，方法丰富多彩本册教材提供了 个适合普通高中学生开展的数学建模活动，分成个部分呈现第部分给出了个数学建模案例（活动），每个案例包含完整的数学建模过程由于实际情境的丰富多样性，在学习这些案例时可以不局限于教材上所列举的问题为此，在每个案例展开过程中，我们都留出了适当的空间（以空白框形式呈现），请同学们结合经验、发挥想象、共同思考，写下你们认为合理的问题、设想及