1、数学归纳法 .,2,11,111的通项公式求数列且首项已知数列nnnnnanaaaaa.4141131,4;3121121,3;21111,2;1,14321anananan时当时当时当时当猜想这个数学通项公式为 nan1n=5?n=6?.多米诺骨牌 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?1 2 3 k k+1 n 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下;任意相邻的两块骨牌任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致前一块倒下一定导致后一块倒下后一块倒下.递推 第 一 块 骨牌倒下 任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.n=1时,猜想成立 如果n=k成立,
2、即 k1ka1111111kkkaaakkkn=k+1时猜想也成立 类比多米诺骨牌游戏解决证明数列的通项公式 递推 nan1数列通公式为证明一个与正整数n有关的命题步骤(1)(归纳奠基)证明当 n取第一个值 n0时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.数学归纳法(mathematical induction)验证n=n0时命题成立 若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基 归纳递推 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 例1 用数学归纳法证明*222612121Nnnnnn证明:(1)当n=1时,左边=1
3、2=1 左边右边16112111(2)假设当n=k 时等式成立,即,612121222kkkk216121kkkk2222121kk667212kkk6161212kkkk63221kkk6112211kkk即当n=k+1时等式也成立 根据(1)和(2),可知等式任何nN*都成立 在第二步时先“凑”在第二步时先“凑”出出n=k的形式，的形式，再“凑”出再“凑”出n=k+1的的目标式目标式.,13231,1071,741,411.24321明并用数学归纳法进行证的表达式猜想根据计算结果计算已知数列例nSSSSSnn123411112=,=,1 4444 77213314=,=,77 101010
4、10 131331.31nSSSSnnnnSn解：可以看到，上面四个结果的分数中，分子与项数 一致，分母可用项数 表示为，于是可以猜想11111,=,.43 1 141111+1 44 77 1032313111111+1 44 77 10323131 3413131 34nSnkkkkkkkkkkkkk 下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当时，左边=右边猜想成立（2）假设时猜想成立，即+，那么，+2*34131 3431131 3413(1)11.kkkkkkkkkknknN所以，当时猜想也成立根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立练习练习 用数学归纳法证明：1、1+2+3+n=n(n+1)/2()；2、首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 ()*nN*nN【小结】(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题.(2)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；(3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换.推理与证明 推理 证明 演绎推理 直接证明 间接证明 数学归纳法 归纳 类比 综合法 分析法 反证法 合情推理