1、4.4 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 考点探究考点探究 挑战高考挑战高考 考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考 4.4 数数系系的的扩扩充充与与复复数数的的引引入入 双基研习双基研习 面对高考面对高考 双基研习双基研习 面对高考面对高考 基础梳理基础梳理 1复数的有关概念复数的有关概念 内容内容 意义意义 备注备注 复数的概念复数的概念 形如形如_的数的数叫复数，其中实部为叫复数，其中实部为_，虚，虚部为部为_ 若若_，则，则abi为实为实数，若数，若_，则则abi为纯虚数为纯虚数 复数相等复数相等 abicdi_(a、b、c、dR)共轭复数共轭复数 abi与与cdi共轭共轭 _
2、 复平面复平面 建立平面直角坐标系来表示复建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，数的平面，叫作复平面，x轴轴叫叫_，y轴叫轴叫_ 实轴上的点都表示实数；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数都表示纯虚数 复数的模复数的模 向量向量 的模的模r叫作复数叫作复数zabi的模的模|z|abi|_ abi(a，bR)a b b0 a0且且b0 ac且且bd acdb(a，b，c，dR)实轴实轴 虚轴虚轴 a2b2 OZ 思考感悟思考感悟 任意两个复数都能比较大小吗？任意两个复数都能比较大小吗？提示：提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能不一定，只有
3、这两个复数全是实数时才能比较大小比较大小 2复数的几何意义复数的几何意义 复数复数 zabi 与复平面内的点与复平面内的点_与平面向量与平面向量OZ(a，bR)是一一对应的关系是一一对应的关系 Z(a，b)3复数的运算复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则 设设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则，则 加法：加法：z1z2(abi)(cdi)_ 减法：减法：z1z2(abi)(cdi)_ 乘法：乘法：z1 z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i 除法：除法：z1z2abicdi abi cdi cdi
4、 cdi _(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3C，都有，都有 z1z2_，(z1z2)z3_ acbdc2d2bcadc2d2i z2z1 z1(z2z3)(3)乘法的运算律乘法的运算律 z1 z2_(交换律交换律)，(z1 z2)z3_(结合律结合律)，z1(z2z3)_(乘法对加法的分配乘法对加法的分配律律)(4)正整数指数幂的运算律正整数指数幂的运算律 zm zn_，(zm)n_，(z1z2)n_(m，nN)z2 z1 z1(z2 z3)z1z2z1z3 zmn zmn z
5、1n z2n 1(2010年高考北京卷年高考北京卷)在复平面内，复数在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为对应的点分别为A，B.若若C为线段为线段AB的中的中点，则点点，则点C对应的复数是对应的复数是()A48i B82i C24i D4i 答案：答案：C 课前热身课前热身 2i是虚数单位，是虚数单位，i(1i)等于等于()A1i B1i C1i D1i 答案：答案：D 答案：答案：A 3(2010 年高考湖南卷年高考湖南卷)复数复数21i等于等于()A1i B1i C1i D1i 4(教材习题改编教材习题改编)已知已知z12i，z2abi(a，bR)，且，且z1 z21，则，则z2的共
6、轭复数对应的点位的共轭复数对应的点位于第于第_象限象限 答案：四答案：四 5复数复数2i2i3的虚部为的虚部为_ 答案：答案：45 考点探究考点探究 挑战高考挑战高考 考点突破考点突破 复数的概念复数的概念 复数的概念在考试中常出现的类型有：复数的概念在考试中常出现的类型有：(1)复数概复数概念的辨析；念的辨析；(2)复数的有关分类；复数的有关分类；(3)复数相等条件复数相等条件的应用；的应用；(4)复数与复平面的对应关系对于具体复数与复平面的对应关系对于具体题目可结合选项一一分析作答题目可结合选项一一分析作答(1)(2009 年高考江苏卷年高考江苏卷)若复数若复数 z1429i，z269i，
7、其中，其中 i 是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数(z1z2)i 的实部为的实部为_(2)(2009 年高考陕西卷年高考陕西卷)已知已知 z 是纯虚数，是纯虚数，z21i是实数，是实数，那么那么 z 等于等于()A2i Bi Ci D2i 例例1(3)(2010年高考陕西卷年高考陕西卷)复数复数 zi1i在复平面上对应的在复平面上对应的点位于点位于()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限【思路点拨】【思路点拨】正确理解复数的概念，即对于正确理解复数的概念，即对于 zabi(a，bR)，其实部为，其实部为 a，虚部为，虚部为 b.(1)中首先对算式中首
8、先对算式进行四则运算，化为最简形进行四则运算，化为最简形式，再确定其实部；式，再确定其实部；(2)要要根据根据 z 是纯虚数，设出是纯虚数，设出 z，代入，代入z21i，根据其为实数列，根据其为实数列方程解决；方程解决；(3)要把要把 z 化为最简形式，再根据复数的几化为最简形式，再根据复数的几何意义求解何意义求解【解析】【解析】(1)因为因为(z1z2)i(220i)i202i，所以可知复数所以可知复数(z1z2)i 的实部为的实部为20.(2)设设 zyi(yR，且，且 y0)，则，则 yi21i 2y y2 i2R，2y0，则，则 y2，z2i，故选，故选 D.(3)因为因为 zi1ii
9、 1i 1i 1i 1i111212i，所以其对，所以其对应的点应的点(12，12)位于第一象限，故选位于第一象限，故选 A.【答案】【答案】(1)20 (2)D (3)A【规律小结】【规律小结】(1)复数的分类：复数的分类：复数复数 abi(a，bR)实数实数 b0 虚数虚数 b0 纯虚数纯虚数 a0 非纯虚数非纯虚数 a0 (2)在复平面内，实数全部落在实轴即在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均轴上，而其他复数均在四个象限内在第一象限在四个象限内在第一象限a0，b0；第二象限；第二象限a0；第三象限；第三象限a0，
10、b0，b0m23m20，解得，解得 m1 或或m2.(3)若若 z 的对应点在第二象限，则的对应点在第二象限，则 lg m22m2 0.解得解得1m1 3或或 1 3m3.复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算化为复数的乘法运算 复数的代数运算复数的代数运算【思路点拨】【思路点拨】运用复数的四则运算法则求解运用复数的四则运算法则求解(1)(2010 年高考重庆卷年高考重庆卷)已知复数已知复数 z1i，则，则2zz_.(2)(2010 年高考广东
11、卷年高考广东卷)若复数若复数 z11i，z23i，则，则z1 z2()A42i B2i C22i D3i 例例2【答案】【答案】(1)2i (2)A【方法总结】【方法总结】复数的四则运算类似于多项式的复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，的看作一类同类项，不含不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，将结的看作另一类同类项，分别合并即可，将结果写成果写成abi的形式的形式【解析】【解析】(1)2zz21i(1i)2 1i 1i 1i(1i)(1i)(1i)2i.(2)z1 z2(1i)(3i)3i3ii242i.变式训练变式训练 2
12、计算：计算：(1)1i 2i i3；(2)12i 23 1i 2i；(3)1i 1i 21i 1i 2；(4)1 3i 3i 2；(5)(1i2)2009(1i2)2009.解：解：(1)1i 2i i33ii13i.(2)12i 23 1i 2i34i33i2i i2ii 2i 51525i.(3)1i 1i 21i 1i 21i2i1i2i 1i21i21.(4)1 3i 3i 2 3i i 3i 2i3i i 3i 4 1434i.(5)(1i2)2009(1i2)20091 2 2009(1i)2008(1i)(1i)2008(1i)1 2 2009(2i)1004(1i)(2i)10
13、04(1i)12(1i)(1i)2.结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活科内的融合，而且解题方法更灵活 复数运算的几何意义复数运算的几何意义 已知复数已知复数z满足满足|z|1，求，求|z(1i)|的最的最大值与最小值大值与最小值【思路点拨】【思路点拨】|z|1复数复数z对应的点是以原点对应的点是以原点为圆心，为圆心，1为半径的圆上的点为半径的圆上的点所求即为圆上的所求即为圆上的点到点点到点(1,1)的距离的最大值、最小值的距离的最大
14、值、最小值 例例3【解】【解】法一：因为法一：因为|z|1，所以，所以 z 是单位圆是单位圆 x2y21上的点，上的点，而而|z(1i)|表示单位圆上的点到表示单位圆上的点到(1,1)点的距离点的距离 所以最大值为所以最大值为 01 2 01 21 21，最小值为最小值为 01 2 01 21 21.法二：设法二：设 zxyi(x，yR)，则，则 x2y21，令令 xcos，ysin，则，则|z(1i)|x1 2 y1 2 x2y22x2y232 xy 32 cossin 32 2sin 4.|z(1i)|max32 2 21，|z(1i)|min32 2 21.【规律小结】【规律小结】(1)
15、复数点与向量的对应关系；复数点与向量的对应关系；(2)|z|表示复数表示复数z对应的点与原点的距离对应的点与原点的距离(3)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数表示两点间的距离，即表示复数z1与与z2对应点间的距离对应点间的距离 变式训练变式训练3 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数与复数212i相等；相等；(2)与复数与复数1216i互为共轭复数；互为共轭复数；(3)对应的点在对应的点在x轴上方；轴上方；(4)对应的点在直线对应的点在直线xy50上上 解：解：(1)根据复数相等的充要条件得根据复数相等的充要条件得 m25m62，m22
16、m1512.解之解之得得 m1.(2)根据互为共轭复数的定义得根据互为共轭复数的定义得 m25m612，m22m1516.解之得解之得 m1.(3)根据复数根据复数 z 对应点在对应点在 x 轴上方可得轴上方可得 m22m150，解之得解之得 m3 或或 m5.(4)复数复数 z 对应的点对应的点(m25m6，m22m15)在直线在直线 xy50 上，即上，即(m25m6)(m22m15)50，解得解得 m3 414或或 m3 414.方法技巧方法技巧 1对于复数对于复数zabi(a，bR)必须强调必须强调a，b均均为实数，方可得出实部为为实数，方可得出实部为a，虚部为，虚部为b.(如例如例1)2复数复数zabi(a，bR)是由它们的实部和虚是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部