1、第五节 空间直角坐标系A组1(2023年高考安徽卷)在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，那么M的坐标是_解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|MB|得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，y1，即点M的坐标为(0，1,0)答案：(0，1,0)2在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么实数x的值为_解析：因为ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么有|AB|AC|，化简得(x4)24，x2或6.答案：2或63
2、x、y、z满足方程C：(x3)2(y4)2(z5)22，那么x2y2z2的最小值是_解析：x2y2z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为()2(4)232.答案：324(2023年广州调研)与A(3,4,5)、B(2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是_解析：由|MA|MB|，即(x3)2(y4)2(z5)2(x2)2(y3)2z2，化简得10x2y10z370.答案：10x2y10z3705(原创题)A(3,5，7)和点B(2,4,3)，点A在x轴上的射影为A，点B在z轴上的射影为B，那么线段AB的长为_解析：可知A(3,0,0)，B(0,0,3)，|AB|3.6
3、如下列图，正方体ABCDABCD的棱长为a，P、Q分别是DB，BC的中点，求PQ的长解：以D为坐标原点，DA、DC、DD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D(0,0，a)，P(，)又C(0，a,0)，B(a，a，a)，Q(，a，)|PQ| .B组1ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，那么ABC的重心坐标为_解析：三角形三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，那么其重心为M，故所求重心为(4，2)答案：(4，2)2设点B是点A(2，3,5)关于xOy面的对称点，那么|AB
4、|等于_解析：点A关于xOy面的对称点为B(2，3，5)，|5(5)|10.3正方体不在同一外表上的两顶点A(1,2，1)，B(3，2,3)，那么正方体的体积为_解析：设棱长为a，那么a，a4，V64.4(2023年江苏宜兴模拟)B是点A(3,7，4)在xOy平面上的射影，那么2等于_解析：A在xOy平面上射影为B(3,0，4)，那么(3,0，4)，225.5在z轴上与点A(4,1,7)和点B(3,5，2)等距离的点C的坐标为 _.解析：设z轴上的点为(0,0，z)，那么根据题意有，那么174914z92544z，z.故该点是(0,0，)6在空间直线坐标系中，方程x24(y1)20表示的图形是
5、_解析：x24(y1)20化为x2(y1)x2(y1)0，x2y20或x2y20，表示两个平面答案：两个平面7在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，那么该正方体的棱长为_解析：由A(3，1,2)，中心M(0,1,2)所以C1(3,3,2)正方体的体对角线长为AC12，所以正方体棱长为.答案：8ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，5,1)，C(3,7，5)，那么顶点D的坐标为_解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O(，4，1)，设D(x，y，z)，那么，4，1，x5，y1
6、3，z3，故D(5,13，3)9如下列图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，M是OB1与BO1的交点，那么M点的坐标是_解析：OA2，AB3，AA12，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)M点的坐标为(，)，即M(1,1.5,1)答案：(1,1.5,1)10如下列图，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如下列图的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0
7、,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.11A(1,2，1)，B(2,0,2)(1)在x轴上求一点P，使|PA|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹解：(1)设P(a,0,0)，那么由，得，即a22a6a24a8.解得a1.所以P点坐标为(1,0,0)(2)设M(x,0，z)，那么有.整理得2x6z20，即x3z10.故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线12在正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离解：由于SABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OCa，而侧棱长也为a，所以SOOC，于是PRRC，故可设P点的坐标为(x，x，ax)(x0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ ，显然当x，y0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心