1、二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2022年10月13日上午8：009：40)一选择题(本小题总分值36分，每题6分)：1函数f(x)=log(x22x3)的单调递增区间是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 2假设实数x，y满足(x5)2(y12)2=142，那么x2y2的最小值为 A2 B1 C D 3函数f(x)= A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 4直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 5两个实数集合A=a1，a2，a3，
2、a100，与B=b1，b2，b50，假设从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，那么这样的映射共有 AC BC CC DC 6由曲线x2=4y，x2=4y，x=4，x=4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，那么 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 二填空题(此题总分值54分，每题9分)7复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，假设它们所对应的向量的夹角为60，那么= ；8将二项式的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的
3、系数成等差数列，那么该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个；9如图，点P1、P2、，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1ij1)，使得存在tR，只要x1，m，就有f(xt)x二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一在ABC中，BAC=60，ABAC，点O为ABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN求的值二实数a，b，c和正数使得f(x)=x3ax2bxc有三个实根x1，x2，x3，且满足 x2x1=； x3(x1x2)求的最大值三在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、
4、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？2022年全国高中数学联赛解答一试题(2022年10月13日上午8：009：40)一选择题(本小题总分值36分，每题6分)：1函数f(x)=log(x22x3)的单调递增区间是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 解：由x22x30，得x3
5、在x(，1)时，u= x22x3单调减，f(x)单调增；在x(3，+)时，u= x22x3单调增，f(x)单调减应选A2假设实数x，y满足(x5)2(y12)2=142，那么x2y2的最小值为 A2 B1 C D 解：令x+5=14cos，y12=14sin，那么x2+y2=196+28(5cos12sin)+169=365+364sin(+)1选B(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3函数f(x)= A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 解：f(x)定义域为(，0)(0，+)；f(x)f(x)= +=x=0即f(x)
6、是偶函数选A4直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0设点P(4cos，3sin) 点P与直线的距离d=， 当0时，d(1)，SABC6(1)3即此时没有三角形面积=3；当2时，d(+1)，SABC6(+1)即此时有2个三角形面积=3选B5两个实数集合A=a1，a2，a3，a100，与B=b1，b2，b50，假设从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，那么这样的映射共有 AC BC CC DC 解：不妨设b1b2b50，在
7、a1，a2，a100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠， 把a1，a2，a100分成50段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求共有C种插法，选D6由曲线x2=4y，x2=4y，x=4，x=4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，那么 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 解：作平面y=h(0h4)与图形交于一个圆环，圆环面积=(42x2)=(164h)；与图交得一个圆环，面积=(16h2)(4(h2)2)=(16h2(h2
8、+4h)=(164h)说明该平面与两个旋转体截得的面积相等由祖暅原理知，V1=V2，选C二填空题(此题总分值54分，每题9分)7复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，假设它们所对应的向量的夹角为60，那么= ；解：由余弦定理知|Z1+Z2|=；|Z1Z2|=，=8将二项式的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的系数成等差数列，那么该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个；解：前三项系数为1，n，n(n1)，于是得n=1+n(n1)，解得，n=8，和n=1(舍去)当n=8时，Tr+1=C()rx= C()rx，当r=0，4，8时x的指数为整数，共有3个9如图，点P1，P2，P10分别是四面体
9、顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(1ij2y，x2y，x24y2=4由对称性，只考虑x0，y0的情况令x=2sec，y=tan，(0)，u=xy=表示点(0，2)与点(cos，sin)连线的斜率，当直线与单位圆相切时，u最小为即所求最小值为(或用判别式法解)12使不等式sin2xacosxa21cosx对于一切xR恒成立的负数a的取值范围是 ；解：即(cosx)2a2+()2，假设(1)2a2+()2，那么a2+a20 a2或a1，但a0，故a2三解答题(此题总分值60分，每题20分)：13点A(0，2)和抛物线y2=x4上两点B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围 解：设B(y024，y0)，C(y124，y1)那么kAB=kBC=由kABkBC=1，得(y1+y0)(y0+2)=1 y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124y10， y10，y14当y1=0时，得B(3，1)，当y1=4时，得B(5，3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(，04，+)14如图，有一列曲线P0，P1，P2，P0是面积为1的等边三角形，Pk1是