1、3.2 数列 通项公式数列的通项公式是高考的热点、重点，是研究数列问题的第一站一、明确复习目标1.理解数列及有关概念；2.了解数列的通项公式的意义，掌握求数列通项公式的一些方法;3.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能由此写出数列的前几项或通项公式。二建构知识网络1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列, 简记为an。数列可视为特殊函数，它的定义域是正整数集或它的子集1、2、3，注意用函数的观点分析问题，如表示法、分类、性质等.2.数列的分类:1有穷数列；无穷数列.2有界数列；无界数列. (3)递增数列；递减数列;摆动数列；常数数列; 3.通项公式：表示an与项数n之间关系的公式，an=fn
2、.有的数列不能写出通项公式，有的数列通项公式也不唯一.4.数列的前n项和Sn=a1+a2+an ;Sn与an的关系：an= 5.递推公式给出起始项(一项或几项)和各项与起始项的关系。是确定数列的一种方式，要能根据数列的递推关系写出数列或求出通项公式.6.假设由待定系数得;7.通项公式的求法:观察法,归纳法,利用an=Sn-Sn-1,由递推公式求通项公式,转化成很有成等差等比数列,累加法,连乘法等.8.数列的单调性及最大、小项的求法：假设对任意的正整数n，都有an+1an (),那么an递增减，也可按函数的方法判断单调性。(1)求最大项 (也可只用一个来求,要验证等号是否成立) (2)由通项公式
3、求最大,小项,可利用函数单调性,导数法等.求最小项类似. 三、双基题目练练手1.数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN都有a1a2a3an=n2，那么a3+a5等于 ( )A. B. C. D. 2.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn万件近似地满足关系式Sn=21nn25n=1，2，12，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月3.2023年12月，全世界爆发禽流感，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死禽流感病毒N的同时能够自身复制.个细菌M可以杀死个病毒N，并且生成个细菌M，
4、那么个细菌M和2048个禽流感病毒N最多可生成细菌M的数值是 A 1024 B 2048 C 2049 D 22048 4(2023广东) 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干准“正三棱锥形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2 3 4 堆最底层第一层分别按图4所示方式固定摆放 从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，那么f(3)= ；f(n)= 答案用n表示 51，的通项公式是 6.数列an的前n项和Sn满足log2Sn+1=n+1，求数列an的通项公式.简答:1-3、ACC；1
5、. 法一： a3=，a5=，.法二：当n2时，a1a2an=n2.当n3时a1a2an1=n12.两式相除an=2，;2. 法一： an=n2+15n9，再解n2+15n91.5，得6n9.法二：将选项中的月份代入计算验证.4. f(3) =10,5. an = ; 6.由Sn=2n+11，故an= 四、经典例题做一做【例1】有一数列an，a1a，由递推公式an1，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.解：a1a，an1，a2，a3，a4.观察规律：an形式，其中x与n的关系可由n1，2，3，4得出x2n1.而y比x小1， an.下面再用数学紧地证明:法二:由a
6、n1得同除以得,当a=1时,an1;当a1时,是等比数列.公比是,首项.当a=1时也适合此式.提炼方法:1.猜测+证明,即通过分析特殊的事例,归纳、猜测出一般规律，再用数学归纳法证明，这种探索问题的方法，在解数列问题时经常用到，应引起足够的重视.2.由递推公式,化归为等比或等差数列再求.方法更为便捷.【例2】数列的前项和满足1写出数列的前三项；2求数列的通项公式；解：为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异由由由为了求出通项公式，应先消除条件式中的事实上当时，由得两式相减得 即两边同乘以，便得令就有 ，于是 ，这说明数列是等比数列，公比首项，从而，
7、得，即， 故有经验证a1也满足上式，故知 法二:迭代法: 提炼方法:1.利用Sn与an的关系转化为an,an-1的递推关系: 形式;再转化为等比数列. 2.法二:也可以由Sn与an的关系,先转化为Sn与Sn-1的关系,求出Sn再求an.此法虽绕些,但也是一种方法.【例3】数列an的通项an = (n+1)()n (nN)试问该数列有没有最大项？假设有，求出最大项和最大项的项数；假设没有，说明理由解：an + 1 an = (n+2)( )n+1 (n+1) ( )n = 当n9时，a n + 1 - an0即a n + 1a n；当n=9时a n + 1a n0，即a n + 1an，当n9时
8、，a n + 1- an0即a n + 1a n，故a1a2a9 = a10a11a12，数列an中最大项为a9或a10，其值为109，其项数为9或10法二:由解得n10,又.所以最大项为a9或a10. 方法提炼:由an + 1 an 判断增减情况,再确定最大项;注意等号.法二:由通项公式,利用导数求最大项也行.【例4】 (2023全国)设数列的前项的和，求首项与通项；设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2 再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2
9、,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 提炼方法；1. 利用an=SnSn1和得:an=4an-1+2n,令:an+x22=4(an-1+x2n-1)可得an+22=4(an-1+2n-1)化为等比数列;2.由an=4an-1+
10、2n两边同除以2n得是等比数列.3.求和Tn时,化为一正一负连续两项,累加相消.【研讨.欣赏】2023全国数列的前n项和为，且方程有一根为，n1，2，3. I求，； II求的通项公式；解：当n=1时，有一根为于是解得 当n=2时，有一根为于是解得 由题设当 由()知由可得由此猜测 下面用数学归纳法证明这个结论.(i)n=1时结论成立.(ii)假设n=k时结论成立,即当n=k+1时,由得 即 故n=k+1时结论也成立, 综上,由(i)、(ii)可知对所有正数n都成立， 于是当 又n1时， 方法提炼：先用数学归纳法求Sn再求通项公式an.五提炼总结以为师1.数列、通项公式、递推公式、前n项和等概念
11、；2.an与Sn的关系是十分重要的考点;3.题型.思想.方法:求数列的通项公式的主要方法有1由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.2利用an 与Sn的关系，不要忘记验证a1 能否与n2时an的式子统一;(3) 由递推公式求通项公式,常化归为等差等比数列,或用利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代等方法.同步练习 3.2 数列 通项公式【选择题】1.数列an中，a1=1，a2=3，an=an1+n3，那么a5等于 ( )A. B. C.4D.52.设ann210n11，那么数列an从首项到第几项的和最大 ( ).A.10B.11C.10或11D.12【填
12、空题】3.2023重庆在数列中，假设， ，那么该数列的通项 。4. 数列的通项公式是 5.an=，且数列an共有100项，那么此数列中最大项为第_项，最小项为第_项.6. 设an的首项为1的正项数列，且那么它的通项公式为an= 。简答.提示：1.A;2.C; 由n210n110得1n11，又nNx，0n11.前10项为正，第11项为0; 3.2n+1-3; 4. an = ; 5. an=1+，又4445，0，故第45项最大，第44项最小; 6.由由a1=1 , 连乘得【解答题】7.在数列an中，a1=1，an+1=，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为=n，=1，=2，=3，=n1.相加得=1+2+n1， an=.8. 在正项数列an中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an解：由2=an+1，得当n=1时，a1=1；当n2时，an=SnSn1，代入有2=SnSn1+1，即Sn1=12.又an0，故=1或= 1舍，即=1n2，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，=n.故an=2n1.9. 数列an中，an0，当n2时，anan12，求证：数列an递增.证明：an1anan2anan12.0an，1an1.an12.an120.an1an0，即anan1对一切自然数n都成立, 数列an递增.10.2023江西数列