1、第第7 7章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 知识目标知识目标 了解二次曲面的标准方程；了解二次曲面的标准方程；理解空间直角坐标系、向量的概念；理解空间直角坐标系、向量的概念；会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；的关系；掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；种常见的曲面方程；熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程程.能力目标能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽通过几何问题代数化，培养学生的抽象思
2、维能力、逻辑推理能力和空间想象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力象能力.德育目标德育目标 借助数形结合的思想，将研究问题的借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养素质与人文素养.7.1 7.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.7.1.1 7.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z 轴
3、,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.过空间一个定点O O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O O 为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称坐标轴坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系O Oxyz,点O O 叫做坐标原点坐标原点(或原点原点).这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xO Oy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第、卦限;第、卦限下面的空间部分依次称为第、卦限.每两个坐标轴确
4、定的平面称为坐标平面,简称为坐标面坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xO Oy面,类似地,有yO Oz面,zO Ox面.xyzOxyzOxyzO八封限八封限 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？A（1，-2，3）B（2，3，-4）C（2，-3，4）D（-2，-2，1）练练 习习 2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3，0，0）D（0，-1，0）空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.点坐标点坐标 x y O x y z O P A B C 这组数就叫做点P 的坐标坐标，并依次
5、称x、y、z为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).x y z (x,y,z)两点间距离两点间距离 （M1PQ都是直角三角形）是直角三角形）2d2221QMQM 221MM 22221QMPQPM 任取空间两点任取空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),它们之间的距离为它们之间的距离为d=|M1M2|.过点过点 M1、M2 各作三个平面分别垂直各作三个平面分别垂直 于三个坐标轴于三个坐标轴,形成如图的长方体形成如图的长方体.（M1QM2 是直角三角形）是直角三角形）z O x y x1 y1 z1 M1 M2 P 1M 2M Q()P Q 222221QM
6、MPPM 212212212)()()(zzyyxx z2 y2 x2 21221221221zzyyxxMMd222zyxOMd两点间距离公式：两点间距离公式：特别地，点特别地，点 M(x,y,z)与原点与原点O(0,0,0)的距离：的距离：2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B（-2，4，1）的距离相等.练练 习习 1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）7.1.2 7.1.2 向量的概念向量的概念 定义定义7.1 7.1 既有大小又有方向的量称为向量向量(或 矢量矢量););向量的大小称为向量的模
7、模.代数法代数法 表达方式表达方式 几何法几何法 用始点为A 终点为B 的有向线段 表示 ABA B 图示图示 用带有箭头的小写字母 表示 或用黑体字母 表示.,cba,，a(或 )记作向量 AB向量的模向量的模 ，a(或 )AB(注：注：模长是标量)两个基本向量两个基本向量 0模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量零向量 单位向量单位向量 记作 记作 e(方向未做规定)向量的三种关系向量的三种关系 模长相等,方向相反的向量.相反向量相反向量 记作 a模长相等,方向相同的两个向量.相等向量相等向量 记作 ba向量可以在空间中任意平移.注注 与始点、终点位置无关；图示图示 ab图
8、示图示 aa注注 aa方向相同或相反的非零向量.平行向量平行向量 记作 ba/平行向量又可称作共线向量.注注 零向量与任何向量都平行.图示图示 ab7.1.3 7.1.3 向量的线性运算向量的线性运算 向量的加法运算向量的加法运算 向量的减法运算向量的减法运算 向量的数乘运算向量的数乘运算 向量的线性运算向量的线性运算 三角形法则三角形法则 运算法则运算法则 平等四边行法则平等四边行法则 A B 图示图示 图示图示 加法运算加法运算 C D A B ACBCABA C C C A ACADAB三角形法则三角形法则 运算法则运算法则 平等四边行法则平等四边行法则 A B 图示图示 图示图示 减法
9、运算减法运算 C D A B CBACABC DBADABC B D B 数乘运算数乘运算 注 数乘运算后的结果仍是一个向量.a记作 一个向量 与一个实数 的乘积.a定理定理 向量 与向量 平行(或共线)的充要条件是：ab存在不全为零的实数 和 ,使得 .0 ba0aaa0a若有 成立,则称向量 为原向量 同方向的 a单位向量单位向量.例例 题题，323213213133232eeceeebeeeacba32已知 求：.32321321313323322eeeeeeee解：解：cba32 33322211336139462eeeeeeee18e向量的坐标向量的坐标 akajaiaazyxkji
10、、zyxaaaa，在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴 同向的单位向量 .则称 为向量向量 的分解式的分解式；称为向量的坐向量的坐 标式标式.向量线性运算规律向量线性运算规律 坐标式坐标式 分解式分解式 (为常数)zyxaaaa，kbajbaibabazzyyxxzzyyxxbabababa，kajaiaazyx)()()(为常数)练练 习习 1.已知两点M1(0，1，2)和M2(1，-1，0),试用坐 标式来表示向量 与 .21MM212MM5,1,4 OAOBOA2.已知 与 ,求向量 与 的坐标.0,8,1OBAB7.2 7.2 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积
11、 掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.7.2.1 7.2.1 向量的数量积向量的数量积 引例引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移 ,则力F 所做的功 为 ,其中 为F 与S 的夹角.21MMcosSFW M1 M2 F M1 M2 S cosF特别地，特别地，ab2)(ba，ba时,称 与 垂直；垂直；记作：ab或 ba/0)(ba，时,称 与 平行平行或共线；共线；记作：ab定义定义 任意两个向量 ,的数量积数量积(或内积内积)是一个 ab)(cosbababa，数量,记作 ,即 .ba，注：注：0
12、)(ba )(ba，定义定义 两个非零向量 与 ,它们的夹角 称为向向 量量 与与 的夹角的夹角,记作 .abab定义法定义法 坐标法坐标法 数量积的运算方法数量积的运算方法 zzyyxxzyxzyxbababababbbbaaaa，则：设，)(cosbababa，数量积的性质数量积的性质，则满足：及实数，对于任意向量cba2aaa）（10bababa则两个非零向量，）（2数量积的运算律数量积的运算律 abba交换律1 1 baba结合律2 cbcacba)(分配律3 3例例 题题).()()()(3)(32babababababa与求设，解：解：5)()(22babbaababa193322
13、22)()(33cos32)(cos2222bbaabbbaaabababababa 所以 因为，向量夹角余弦公式向量夹角余弦公式 222222)(coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababababa，夹角的余弦公式为：，两个非零向量7.2.2 7.2.2 向量的向量积向量的向量积 sin,FOPFOQMMOOPFPFLO 它的模为,的力矩是一向量点 力F对支,的夹角为与杠杆上点 作用于这的支点，力为一根杠杆设 引例引例F P O L Q 向量积向量积 构成右手系.,且都垂直,和方向规定为与 其,，其大小为,记作向量,仍是一个的和,和给定两个向量 bababababababa
14、baba,)(sin)(或外积或外积向量积向量积定义定义右手系规则图示右手系规则图示 ba，注：注：0 ba的角到是ba向量积模的几何意义向量积模的几何意义 面积.为邻边的平等四边形的，以ba分解式法分解式法 坐标法坐标法 向量积的运算方法向量积的运算方法 yxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaababbbbaaaa，则：设kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibakbjbibbkajaiaayxyxzxzxzyzyzyxzyxzyxzyx则：设，例例 题题 1426421264421222421222.21sin21kjiABCSkjikjiACABACABAC
15、ABAACABABCSABC于是，所以由于 的面积为知根据向量积的定义，可，的面积.求的顶点分别是已知ABCCBAABC，)742()543()321(解：解：向量积的性质向量积的性质，则满足：及实数，对于任意向量cba0aa）（10/2bababa则两个向量，）（向量积的运算律向量积的运算律 abba反交换律1 1 baba结合律2 cbcacba)(分配律3 3向量的混合积向量的混合积 zyxzyxzyxzyxzyxzyxcccbbbaaacbaccccbbbbaaaa 则它们的混合积为：,，设，想一想想一想 是什么样的四边形？那么如果四边形ABCDbaCDbaBCbaABABCD，中，中
16、，3542 bababbababa2,12121323221试求下列向量：已知向量，7.3 7.3 平面与直线平面与直线 平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.7.3.1 7.3.1 平面的方程平面的方程 .的面 为平向量是唯一确定的，此时称的平面 垂直且与非零向量在空间中通过一定点 法向量法向量nnM0定义定义CBAn，)(0000zyxM，平面的法向量平面的法向量 0000000zzCyyBxxAnMMnMMzyxM为：故.即,则有),(上任取一点在平面平面的点法式方程平面的点法式方程，平面的点法式方程平面的点法式方程 平面方程的表达式平面方程的表达式 0，其中由点法式方程可得：2220000CBACzByAxDDCzByAx，平面的一般式方程平面的一般式方程 解：解：求过两点M1(2，-1，1)和M2(3，-2，1),且平行于 z轴的平面方程。0100100,01122yxBAMCCBAznzCyBxA平面方程为：.则所