1、线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩 一、选择题 1已知二次型,当t取何值时，该二次型为正定？（ ） A. B. C. D.2.已知矩阵，求的值（ ） A.3 B.-2 C.5 D.-53设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. B. C. D.A的行向量组线性相关4过点（0，2，4）且与两平面的交线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D.5已知矩阵,其特征值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6三阶行列式的展开式中，前面的符号应是 。7设为中元的代数余子式，则 。8设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和 。9三阶初等矩
2、阵的伴随矩阵为 。10若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 。11若向量组线性相关，则向量组 的线性关系是 。12设矩阵的特征多项式为，则行列式 。13如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值 。14设为正交矩阵，则其逆矩阵 。15二次型的正惯性指数为 。三、计算题16计算行列式的值。17设 ,且,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B。18a取何值时，方程组有解？在有解时求出方程组的通解。19设向量组线性无关。试证明：向量组线性无关。20试证向量组为的一组基，并求向量在该组基下的坐标。答案一、选择题1.A 解析： 由题可知，该二次型矩阵为，而，可解得。此时，该二次型正定。 考查
3、知识点:二次型正定的判断 难度系数 2.C 解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。 考查知识点:n阶矩阵特征值的性质 难度系数:3.D 解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。 考查知识点:n阶可逆矩阵的性质 难度系数:4.A. 解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为。所以所求直线为。 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程 难度系数: 5.C. 解析：由，可解得特征值为 考查知识点:求解矩阵的特征值 难度系数:二 填空题6负号； 71； 80； 9或； 10唯一解（或只有零解）； 11线性相关； 12-27； 132； 14；
4、 153.三、计算题16. 4分 17. 解:由于,因此,又,故A可逆, 所以 18 故当且仅当a=2时，有解。当时，得是任意）， 所以 或 即19证一：设有一组数使即由线性无关，有2分该方程组只有零解故线性无关。证二：因线性无关，用线性表出的系数行列式故线性无关。（若只证明0，不强调线性无关这一条件,就得出线性无关的结论，扣2分）。故命题得证。20证明：令，则，故向量组为的一组基，又设，得线性方程组解之得向量在该组基下的坐标为。线性代数期末考试题班别_ 姓名_ 成绩_说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示
5、方阵A的行列式.要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分，共25分）1. 若，则_。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。4已知矩阵为33的矩阵，且，则 。5阶方阵满足，则 。二、选择题 （每小题5分，共25分）6已
6、知二次型,当t取何值时，该二次型为正定？（ ） A. B. C. D.7 已知矩阵，求的值（ ） A.3 B.-2 C.5 D.-5 8设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. B. C. D.A的行向量组线性相关 9过点（0，2，4）且与两平面的交线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 10已知矩阵,其特征值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设且矩阵满足关系式， 求。12.问取何值时，下列向量组线性相关？。13. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。14.设 求此向量组的秩和一个极大无
7、关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。15.证明：若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5. 解析:采用对角线法则,由有.考查知识点:行列式的计算.难度系数:2. . 解析:由现行方程组有,要使该现行方程组只有零解,则,即. 考查知识点:线性方程组的求解难度系数: 3. 解析;由题可知,则设,可知的行数与一致,列数与一致,且与均为方阵,所以为阶矩阵,为阶矩阵.考查知识点:n阶矩阵的性质难度系数:4. 24 解析:由题可知,为3阶矩阵且,则.考查知识点:矩阵的运算难度系数:5. 解析:由有,此时.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵难度系数:二、 选择题6. A
8、 解析： 由题可知，该二次型矩阵为，而，可解得。此时，该二次型正定。 考查知识点:二次型正定的判断 难度系数 7. C 解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。 考查知识点:n阶矩阵特征值的性质 难度系数:8. D 解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。 考查知识点:n阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A. 解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为。所以所求直线为。 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程 难度系数: 10. C. 解析：由，可解得特征值为 考查知识点:求解矩阵的特征值 难度系数:三、解答题11. 解： 考查知识点:矩阵方程的运算求解 难度系数:12.解： 当=0时即或时，向量组线性相关。 考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:13.解： 当且时，方程组有唯一解； 当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为 考查知识点:线性方程组的求解 难度系数:14.解： 由题可知 则，其中构成极大无关组,且线性关系为 考查知识点:向量组的秩与 最大无关组 难度系数:15.证明： 由题可知, ,即 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数: