1、近世代数期末考试模拟试卷及答案班别_ 姓名_ 成绩_要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2阶B、3
2、 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 (P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共
3、10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、
4、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正
5、确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1，；2
6、两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a-1。世代数模拟试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，x
7、R，则是从A到B的（ ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ ）个元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b， a,bG都有解，这个解是（ ）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共
8、30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有-。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的-。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个-。4、偶数环是-的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个-。6、每一个有限群都有与一个置换群-。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是-，元a的逆元是-。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2
9、、 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、 证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、 设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题 参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积： 2、解：设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域 证毕。