ImageVerifierCode 换一换
格式:DOC , 页数:50 ,大小:3.58MB ,
资源ID:89609      下载积分:8 积分
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝扫码支付 微信扫码支付   
验证码:   换一换

加入VIP,免费下载
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.wnwk.com/docdown/89609.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: QQ登录  

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(《线性代数》课后习题答案.doc)为本站会员(g****t)主动上传,蜗牛文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知蜗牛文库(发送邮件至admin@wnwk.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

《线性代数》课后习题答案.doc

1、第一章 行列式习题1.11. 证明:(1)首先证明是数域。因为,所以中至少含有两个复数。任给两个复数,我们有。因为是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以。如果,则必有不同时为零,从而。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以。综上所述,我们有是数域。(2)类似可证明是数域,这儿是一个素数。(3)下面证明:若为互异素数,则。(反证法)如果,则,从而有。由于上式左端是有理数,而是无理数,所以必有。所以有或。如果,则,这与是互异素数矛盾。如果,则有,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。所以假设不成立,从而有。同样可得。(4)因为有无数个互异的素数,所以由(3)可知在和之间存在无穷多

2、个不同的数域。2. 解:(1)是数域,证明略(与上面类似)。(2)就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而复数域。(3)不是数域,这是因为他关于除法不封闭。例如。3. 证明:(1)因为都是数域,所以,从而。故含有两个以上的复数。任给三个数,则有且。因为是数域,所以有且。所以。所以是数域。(2)一般不是数域。例如,我们有,但是。习题1.22. 解:项的符号为习题1.31证明:根据行列式的定义=0。所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多,(-1)是由奇排列产生的,而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列,故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的

3、个数一样多,各占一半。2解 (1) =; (2); (3) ; (4)=。 (5) 。3解:(1)。 (2)左端=右端。(3) 。 (4)原式(先依次)=。=。 (5)原式(先依次)=。=。4解:设展开后的正项个数为。则由行列式的定义有。又因为 (利用)(下三角行列式)。所以有。5证明:(1)左端=右端。(2)利用性质5展开。6解:(3)与上面3(3)类似可得。7解:利用行列式的初等变换及性质5。8解:。9证明:设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后所得的行列式D第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D可被23整除。又由行列式的性质知D。因为23是素数,且不可能被23整除,

4、所以D可以被23整除。习题1.41解:(1) =; (2) =; (3)方法一 + =; 方法二 逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。 (4)逐次按第2行展开 =; (5) =; (6) = ; (7)换行后可得到范德蒙行列式; (8)先把第一行加到第三行,再提取第三行的公因式,换行后可得到范德蒙行列式。2解:(1) + =; (2) =1+;(此处有笔误)(3) =,据此当时,原式=;当时,原式=。3解:(1)将按第n 列展开得:=+ =。 (2)略(参考课本例中的叙述)。4解:(1)交换行、列后得到三角块行列式,然后利用例1.4.6的结果;或者直接利用Laplace定理。

5、 (2)左端先做变换,再做变换,然后利用P30推论。5解:(1)=;(2)=;(3)利用初等变换。附加:P30推论的证明:证 (1) 将第r+1列与r列交换, 由将新的r列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r次, 如此继续直到将r+s列交换至第s列. 于是交换了rs次后得到=将所得行列式的第r+1行依次与第r行, r-1行, , 第1行交换. 交换r次后, r+1行交换至第1行. 类似地交换r次后将r+2行交换至第2行, , 交换r次后将第r+s行交换至第s行, 于是交换rs次后得: (2), (3)

6、思路与(1)类似, 证明过程略去。习题1.5 2解:计算得 =根据克拉默法则, 当时, 即时, 原方程组只有零解。习题1.61证明:方法一 归化 =右端.方法二 归纳法 当时, = 结论成立. 假设时结论成立, 即有 则当时, 将 的第n列看成1+0,1+0,1+, 故可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n列展开可算出为从而 =+ 而=.所以=+=+=右端.方法三 递推由证明(二)可知与存在以下递推关系:=+所以=+= =右端.方法四 加边法 = =右端。2证明:(1)注意当把行列式按第n列展开时,得到的递推公式中有三项,故归纳法第一步应验证n=1,2时均成立。而归纳法第二步应假设当时

7、成立,去证明当n=k时成立。3解:(2)先把除第一列外的所有列都加到第一列,然后提出第一列的公因子;再依次;然后按第一列展开,再依次;最后按最后一列展开。4解:通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1;又因为如果全取零,则有f(x)=0。所以选(D)。5看自己或别人的作业。6解:方法一:利用课本中例1.4.3的方法。 方法二:设。则有f(x)中的系数为。又因为 (范德蒙行列式),所以f(x)中的系数为。 所以可得。第二章 线性方程组习题2.12证明. 因,说明不全为零,故当某个,通过适当的行互换,可使得位于左上角,用来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A可以化为:,由于,此时必有

8、,故可以对重复对A的讨论, 此时A可经初等行变换化为, 然后再将第行的倍加到第行(),再将第行的倍加到第行(),这样继续下去,一直到将第2行的倍加到第1行,此时A就化为, 故所证结论成立。3证明:以行互换为例: 列互换可以同样证明.若, 这相当于A中交换第i行和第j行, 所以结论成立。习题2.21 解:中一定存在不为零的阶子式,否则秩,与题设秩()矛盾. 由秩()知,中至少存在一个阶子式不为零, 这表明中的阶子式只要有一个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. 中一定不存在不为零的阶子式,否则的秩至少是, 这也与题设秩()矛盾。2 提示:利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。3 略。4

9、思路:可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积,从而由秩;进而因为矩阵不等于零,所以秩0。5 略。习题2.3略。习题2.42证明:()的增广矩阵为=,因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩()秩().观察可知, 矩阵其实就是在增广矩阵下面加了一行, 所以秩()秩(). 由题意知, 秩()=秩(), 据此可得秩()秩(). 综上知秩()=秩(), 故()有解。3解:将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵. 当时, 秩()秩(), 所以线性方程组无解;当时, 秩()=秩()未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解. 原方程组同解于 故通解为 其中为任意常数。4证明:该线性方程组的增广矩阵=,

10、 由题意知秩()=. 但是系数矩阵是一个的矩阵, 所以秩()秩(). 据此秩()秩(), 所以该线性方程组无解。第三章 矩阵习题3.14解:(1) 由矩阵乘法运可得:;。 (2)与D乘法可换的矩阵满足。故与的元素对应相等,利用()的结果,有,从而。由于(),可得:当时,即为对角矩阵。5证明:(1)数学归纳法:当时,计算得,故结论成立 假设当时,结论成立,即有, 则当时,因所以, 即当时,结果成立由归纳法原理知,对任意大于2得正整数有(2)当时,结果显然成立当时, 直接计算得. 假设当时,结果成立,即我们要证明当时,结果也成立,即可完成证明 第一种情况:k为奇数,则 第二种情况:k为偶数,则综上

11、: 即当时,结论成立6 解:(1)先计算出时的结果。然后归纳出应该有,接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结果。 当时,结论显然成立 假设当时,结论成立,即 则当时, 结论成立7记住结论。8证明:因为与所有n阶方阵乘法可换,故与乘法可换, 利用第7题结果有,即设,则即为数量矩阵10证明:设,则tr 同理可得 tr 由于 ,可得trtr11证明:假如存在n阶方阵满足,则trtrtr由于,可得trtr,这与10题所得结果矛盾所以假设不成立即不存在n阶方阵,满足15证明:因,都是对称矩阵, 故, 从而为对称矩阵.16证明:设,则由的主对角线上元素为零, 由为实数知.证法二:利用二次型。习题3.24思路

12、:注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。 证明:计算, 由题意可知, 所以.根据定理3.2.1的推论可知可逆且其逆为.5证明:计算= 计算据此,根据定理3.2.1的推论可知可逆且其逆为.6证明:因为所以有. 由题意可知, 所以可在等式两边同乘上, 由此可得, 整理得,根据定理3.2.1的推论可知可逆且.7证明:(1) 由题意可得, 根据定理3.2.1的推论可知可逆并且. (2) 由题意可得, 而这个等式可化为, 即有, 同样根据定理3.2.1的推论可知可逆并且.8思路:注意题设实际上是给出了矩阵多项式。所以一般情况下,如果可逆,其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其

13、逆矩阵为(待定系数法),从而由逆矩阵定义知应该有,即。在注意到题设是,所以我们有,所以有,即。 证明:因为,所以。所以。9证明:(1); (2)由于, 所以, 由此可得; (3); (4); (5)由(2)中分析可知, 所以; (6) 由(2)中分析可知, 则。10证明:都可逆, 所以有, 由此可知, 从而得到. 另一方面, 由于都可逆且均为阶方阵, 所以也可逆, 所以有, 而. 综合上述可得.11略。12证明:假设是可逆矩阵, 那么在等式两边都左乘的逆矩阵可得, 这与题设中矛盾! 所以不可逆.13证明:根据题意可知存在非零的nt矩阵B使AB=O, B是非零矩阵所以必存在某一列上的元素不全为零, 不妨设这一列为. 由于, 所以, 据此可知是线性方程组的一个非零解. 由于有非零解, 所以=0.14略。15解:(A) 可逆的充要条件是而不是, 设, 但不是可逆矩阵, 所以选项(A)是错误的. (B) 设

copyright@ 2008-2023 wnwk.com网站版权所有

经营许可证编号:浙ICP备2024059924号-2