1、2023年全国高中数学联赛试卷(2023年10月16日上午800940)一、选择题：1使关于x的不等式+k有解的实数k的最大值是 ( ) A B C+ D2空间四点A、B、C、D满足|3，|7，|11，|9那么的取值( ) A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个3ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，那么的值为 ( ) A2 B4 C6 D84如图，ABCDABCD为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，那么 ( ) AS为定值，l不为定值 BS不为定值，l为定值 CS与l
2、均为定值 DS与l均不为定值5方程+1表示的曲线是 ( ) A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线6记集合T0，1，2，3，4，5，6，M+| aiT，i1，2，3，4，将M中的元素按从大到小排列，那么第2023个数是 ( ) A+ B+ C+ D+二、填空题：7将关于x的多项式f(x)1x+x2x3+x19+x20表为关于y的多项式g(y)a0+a1y+a2y2+a19y19+a20y20，其中yx4，那么a0+a1+a20 ；8f(x)是定义在(0，+)上的减函数，假设f(2a2+a+1)f(3a24a+1)成立，那么a的取值范围是 ；9
3、设、满足02，假设对于任意xR，cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)0，那么 ；10如图，四面体DABC的体积为，且满足ACB45，AD+BC+3，那么CD ；11假设正方形ABCD的一条边在直线y2x17上，另外两个顶点在抛物线yx2上，那么该正方形面积的最小值为 ；12如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“桔祥数将所有“桔祥数从小到大排成一列a1，a2，a3，假设an2023，那么a5n 三、解答题：13数列an满足a01，an+1，nN，证明： 对任意nN，an为正整数； 对任意nN，anan+11为完全平方数14将编号为1，2，3，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分
4、点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S到达最小值的放法的概率(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，那么认为是相同的放法)15过抛物线yx2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足1；点F在线段BC上，满足2，且1+21，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程加试卷一、如图，在ABC中，设ABAC，过点A作ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一
5、个旁心二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bza，az+cxb，bx+ayc求函数f(x，y，z)+的最小值三、对每个正整数n，定义函数f(n)(其中x表示不超过x的最大整数，xxx)试求f(k)的值呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！2023年全国高中数学联赛试卷(2023年10月16日上午800940)一、选择题：1使关于x的不等式+k有解的实数k的最大值是 ( ) A B C+ D选D解：3x6，令sin(0)，那么x3+3sin2，cos故(sin+cos)应选D2空间四点A、B、C、D满足|3，|7，|11，|9那么的取值( ) A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个选A解：+
6、DA22(+)2AB2+BC2+CD2+2(+)AB2+BC2+CD2+2(+2)，(其中+，)AB2+BC2+CD22BC2+2()故2DA2+BC2AB2CD292+723211200选A3ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，那么的值为 ( ) A2 B4 C6 D8选A解：AA1cos2sin(B+)cossin(A+B)+sinBsinC+sinBAA1cos+BB1cos+CC1cos2(sinA+sinB+sinC)故原式2选A4如图，ABCDABCD为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多
7、边形的面积为S，周长为l，那么 ( ) AS为定值，l不为定值 BS不为定值，l为定值 CS与l均为定值 DS与l均不为定值选B解：设截面在底面内的射影为EFBGHD，设AB1，AEx(0x)，那么l3x+(1x)3为定值；而S1x2(1x)2sec(xx2)sec(为平面与底面的所成角)不为定值应选B5方程+1表示的曲线是 ( ) A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线选C解：由于+0cos()cos()sinsin0；又，0ccoscos0，曲线为椭圆sinsin(coscos)sin()sin()而0sinsincoscos焦点在y轴上
8、应选C 6记集合T0，1，2，3，4，5，6，M+| aiT，i1，2，3，4，将M中的元素按从大到小排列，那么第2023个数是 ( ) A+ B+ C+ D+选C解：M(a173+a272+a37+a4)| aiT，i1，2，3，4，a173+a272+a37+a4可以看成是7进制数，(a1a2a3a4)7，其最大的数为(6666)77412400从而从大到小排列的第2023个数是24002022396，即从1起从小到大排的第396个数，39673+72+4(1104)7，故原数为+应选C二、填空题：7将关于x的多项式f(x)1x+x2x3+x19+x20表为关于y的多项式g(y)a0+a1
9、y+a2y2+a19y19+a20y20，其中yx4，那么a0+a1+a20 ；填解：f(x)a0+a1(x4)2+a2(x4)2+a20(x4)20令x5得f(5)15+5253+519+520a0+a1+a208f(x)是定义在(0，+)上的减函数，假设f(2a2+a+1)f(3a24a+1)成立，那么a的取值范围是 ；填(0，)(1，5)解：a(，)(1，+)2a2+a+13a24a+1a25a00a5故所求取值范围为(0，)(1，5)9设、满足02，假设对于任意xR，cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)0，那么 ；填 解：由f(x)0，得f()f()f()0：cos ()+c
10、os()cos()+cos()cos()+cos()1故cos()cos()cos()，由于02，故，从而10如图，四面体DABC的体积为，且满足ACB45，AD+BC+3，那么CD ；填解：VACBCsin45hACBCADsin45即ACBCADsin451BCAD1而3AD+BC+33，等号当且仅当ADBC1时成立，故AC，且ADBC1，AD面ABCCD11假设正方形ABCD的一条边在直线y2x17上，另外两个顶点在抛物线yx2上，那么该正方形面积的最小值为 ；填80解：设正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上设直线AB方程为y2x+b， 求AB交抛物线yx2的弦长：以y2x+b代入yx2，得x22xb04+4bl2 两直线的距离 由ABCD为正方形得，2100(b+1)b2+34b+289b266b+1890解得b3，b63正方形边长4或16正方形面积最小值8012如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“桔祥数将所有“桔祥数从小到大排成一列a1，a2，a3，假设an2023，那么a5n 填52022解：一位的桔祥数有7，共1个；二位的桔祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；三位的桔祥数为x1+x2