1、第十二章第十二章 极限与导数极限与导数 第 讲（第二课时）（第二课时）题型题型3 用数学归纳法探求数列的通项公式用数学归纳法探求数列的通项公式 1.已知数列an满足：a1=1，a2=，an(an+1-1)=n(an+1-an)(n2)，求数列an的通项公式.解：由已知可得 因为 a1=1，a2=，所以 由此猜想：14 11(2).nnnnaanna 14232127aaa，343213-10aaa，1.3-2ann 证明:(1)当n=1时，结论成立.(2)假设当n=k时结论成立，即 则当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立.综合(1)(2)知，数列an的通项公式是 1113 12a ，
2、1.32kak 121111321321321111.32131131312kkkkkakkakakkkkkkkkkkkk 1(*).32nanNn 点评：“归纳猜想证明”是求数列的通项公式与前n项和公式的常用方法，也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型，应引起足够的重视.数列an满足Sn=2n-an(nN*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;当n=2时，a1+a2=S2=22-a2,所以a2=;当n=3时，a1+a2+a3=S3=23-a3,所以a3=;当n=
3、4时，a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,所以a4=.由此猜想 3274158121(N*).2nnnan (2)证明:当n=1时，a1=1，结论成立.假设n=k(k1且kN*)时,结论成立，即 那么当n=k+1(k1且kN*)时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以 这表明n=k+1时，结论也成立.由知，猜想 成立.121.2kkka 1112122212,222kkkkkkaa 121(*)2nnnanN 题型题型4 用数学归纳法探求数列的有关性质用数学归纳法探求数列的有关性质 2.已知两个数列an、bn满足
4、：a1=2，b1=-1，且an=an-1 b=，试推测an+bn的变化规律，并证明你的结论.解：当n=1时，a1+b1=1.因为 所以a2+b2=1，由此猜测：an+bn=1.证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.12(2)11nnnbbna，1221 22112133bbaa ba，(2)假设当n=k时，ak+bk=1，即bk=1-ak成立，则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1 所以当n=k+1时，结论成立.综合(1)(2)知，对任意nN*，都有an+bn=1.故an+bn=1，为定值.211.11kkkkkbbaaa 点评：探求数列中的有关性质，一般
5、是先观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法来证明.已知数列an是公差不为零的等差数列，且a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2，Sn为数列bn的前n项和，试推断是否存在常数p，使对一切nN*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明你的理由.解：设数列an的公差为d(d0).由已知，得a2a8=a42，所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，则a1=d，所以an=nd.(1)当n=1时，所以4a1S1=b1a4成立.(2)假设当n=k时，4a1Sk=bkak+3成立,即 则 1441114b aaa Sa，31.4
6、kkkb aSa 31111111141111114444 444kkkkkkkkkkkkkkkb aa bSSbbbaaaaadabbbaaa，所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立.综合(1)(2)知，存在常数p=4，使对一切nN*，都有pa1Sn=bnan+3成立.3.已知数列an满足:证明：证法1：(1)当n=1时，因为 所以不等式成立.(2)假设当n=k时不等式成立，即 则 题型题型5 用数学归纳法证数列不等式用数学归纳法证数列不等式 1102a ，213(*)2nnnaaanN，1.1nan 1110211a ，10.1kak 2133
7、(1)221321.22kkkkkkkaaaaakaak 因为 所以 331320111022122kkkaakk，222222332(1)212211111()221222111221122kkkkkaakakakakkkk ，所以 即当n=k+1时，不等式成立.综合(1)(2)知，对任意nN*都成立.证法2：(1)当n=1时，所以不等式成立.当n=2时，所以不等式成立.11.2kak 11nan 1110211a ，222111331111122366321aaaa ，(2)假设当n=k(k2)时不等式成立，即 因为函数 在0，上是增函数，所以 110.13kak 232fxxx131()
8、()1kf afk ，即 所以当n=k+1时不等式成立.综合(1)(2)知，对任意nN*都成立.212222113111212122112212112321.22422kafkkkkkkkkkkkkkkk 11nan 证法3：(1)同证法1.(2)假设当n=k时，不等式成立，即 若 则 若 10.1kak 102kak ，2131.22kkkkaaaak 11,21kakk 则 所以当n=k+1时，不等式 成立.综合(1)(2)知，对任意nN*都成立.13131(1)(1)21221211211.1222222kkkaaakkkkkkkkk 112kak 11nan 点评：用数学归纳法证明不等
9、式的关键是“变形”，即在归纳假设的基础上通过放缩、比较、综合等证明不等式的方法，得到要证明的目标不等式.已知数列an的通项 求证：证明：(1)当n=1时，所以不等式成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即 成立.12nan，2221211.24naaan21111424 1a ，222121124kaaak 则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式成立.综合(1)(2)知，对任意nN*，不等式都成立.2222121222222111244111 1111124241111111.24241kkaaaakkkkkkk kkkkk k 1.数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游戏”，其实质是逐一验
10、证对一切从n0开始的正整数，命题都成立，它是一种从有限验证无穷的数学方法.2.归纳法是推理的方法，数学归纳法是证明的方法，由归纳法得出的结论不一定正确，只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性.3.“归纳猜想证明”是求解某些探索性问题的一种重要的思想方法，它在数列问题中有着广泛的应用，必须熟练掌握.4.数学归纳法应用中的存在性问题，应先取特殊值，求得参数取值，然后再用数学归纳法严格证明，不需再考虑参数其他取值情况.5.在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键.这就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明数列不等式问题中经常用到.