1、几类常用复初等函数的性质及其应用【摘要】复初等函数是以指数函数为基础的,首先定义了指数函数,之后三角函数,双曲函数,最后定义多值函数中的幂函数,对数函数,和反三角函数.实初等函数与复初等函数有许多类似之处,也有一些不同.通过文章会发现复初等函数定义域扩充到复数域带来的性质变化是很大的.本文主要讲述复初等函数的定义,以及它们各自具有不同与实函数的性质,以及它们在数学解题过程中的应用.【关键词】复初等函数 单值函数 解析函数The Properties of Several Kinds of ComplexElementary Functions and their Applications【Ab
2、stract】Complex Elementary Functions are based on exponential functions. This paper first defines exponential function, followed by trigonometric function, hyperbolic function, logarithmic function, and finally, power function and inverse trigonometric function. There are many similarities and differ
3、ences between real elementary functions and complex elementary functions. Through the thesis, it can found that the extension of the definition domain of complex elementary function to the complex domain brings great changes in nature. It mainly introduces the definition of complex elementary functi
4、ons, their differences and the properties of real functions, and their applications in solving mathematical problems.【Keywords】 Complex Elementary Functions; Uniform Function; Analytic Function 目录1 引言12 初等解析函数12.1 常数函数12.1.1 常数函数的定义12.1.2 常数函数的性质12.1.3 常函数的应用12.2 指数函数22.2.1 指数函数的定义22.2.2 指数函数的性质22.2
5、.3 指数函数的应用22.3三角函数32.3.1 三角函数定义32.3.2 三角函数的性质32.3.3 三角函数的应用42.4 双曲函数42.4.1 双曲函数的定义42.4.2 双曲函数的性质42.4.3 双曲函数的应用43 初等多值函数53.1 对数函数53.1.1 对数函数的定义53.1.2 对数函数的性质53.1.3 对数函数的应用53.2 幂函数63.2.1 幂函数的定义63.2.2 幂函数的性质63.2.3 幂函数的应用73.3 反三角函数83.3.1 反三角函数的定义83.3.2 反三角函数的性质93.3.3 反三角函数的应用9参考文献101 引言本文主要阐述复初等函数性质与应用,
6、我们之前对实初等函数的研究,了解实初等函数的性质.我们会发现实初等函数与复初等函数之间有许多相同点又有很大不同.同时会发现复初等函数与实初等函数的相同点是定义的形式,最大的不同点是它们的定义域,实初等函数定义域是为实数域,而复初等函数的定义域为复数域,相当于是在定义域的扩充.定义域的改变其性质也会变化,譬如复指数函数的值域为同时其具有周期性而复三角函数也不是有界函数等.2 初等解析函数2.1 常数函数2.1.1 常数函数的定义定义11:常数函数是值不发生改变的函数,即,有,其中是常数且.2.1.2 常数函数的性质性质111:若函数在区域内解析,且在区域内,则函数在区域内是常数函数.性质211:
7、若函数在平面上解析且有界,则在平面上是常数.2.1.3 常函数的应用证明函数为常数函数是我们经常遇到的问题,我们将进一步研究此类问题的解法.例16若在区域内解析且仅取实数值,则常数.证明： 若,则.由条件：有,则 从而,为常数函数.由此题我们发现可以应用条件证明解析函数为常数函数.例26若函数 在平面上是解析的,且不取位于某一条简单弧上上之类的值,证明.证明:单叶解析函数可作出曲线外部的单连通区域保形变换为单位圆.可知函数是绝对存在的,该函数也不是一个常数.复合函数,在平面上是解析的,它的值位于单位圆内.根据刘维尔定理,函数是常数,由非常数的解析函数的单叶性,函数.此题应用刘维尔定理证明.2.
8、2 指数函数2.2.1 指数函数的定义定义24：函数被称为的指数函数.2.2.2 指数函数的性质性质17:设,则,. 性质27:解析性在平面上解析,且.性质34:加法定理，.性质47:周期性是以为周期的周期函数,其中为非零整数.事实上,.性质57:不存在,即没有意义. 2.2.3 指数函数的应用 例14讨论是否存在.(1)当沿从原点出发的直线趋向于时；(2)当沿双曲线的支趋向于时；(3)当沿趋向于时.解 (1)直线的辐角为,讨论不同的,当时,所以.当时,所以.当 时, 在1和-1之间振动,所以的极限不存在. （2）当沿双曲线 的支趋向于时,若以正、负实轴为渐近线,极限分别为与0,故当时极限不存
9、在. （3）当 沿 趋向于时,在第一象限与第二象限的一支极限分别为与0,故当时极限不存在.此题我们可以运用指数函数的性质来判断其极限是否存在.例212:计算和,其中为常数.解 设,则有 , 可分离函数实部和虚部:,.2.3 三角函数2.3.1 三角函数定义定义37:规定,分别称它们为的正弦函数和余弦函数.规定,分别称它们为的正切函数,余切函数,正割函数,及余割函数.2.3.2 三角函数的性质性质13:周期性,为非零整数.性质22:奇偶性, 是偶函数, 是奇函数.性质310:解析性,在平面内解析.性质41:欧拉公式成立,. 性质51:无界性,在复数域内不能再认为,.性质61:三角恒等式,.性质7
10、2:零点,的零点是（）是解析函数,的零点是（）. 性质82：周期性正切函数的周期和余切函数的周期都是. 2.3.3 三角函数的应用例1 2求函数的周期.解 (1)因为函数的周期是,即,所以.又,故的周期为.此道例题解法应用了三角函数的性质1,来求函数周期.例2 2为什么,在复数范围内不会成立.答 因为,所以= 当时,所以不再成立.同时可证,不再有.2.4 双曲函数2.4.1 双曲函数的定义定义41:, 分别是双曲余弦函数,双曲正弦函数,双曲正切函数,双曲余切函数.2.4.2 双曲函数的性质性质14:是周期为周期函数.性质24:是偶函数,是奇函数.性质34: 和在复平面内解析,.2.4.3 双曲
11、函数的应用例1 1解方程 分析 记,由性质3,. 解 原方程即=.由此得到及 . 由于 ,既是,解得 （ ）,代入，得，解得 .故 (，).3 初等多值函数对数函数,幂函数,反三角函数在复数域里都是多值函数.实函数在逆运算里会产生多解,在复函数里也会出现,但也有一些本质上的不同，初等多值函数的应用也是很广泛的.3.1 对数函数3.1.1 对数函数的定义定义54：对数函数满足该方程（,记作.对数函数为指数函数的反函数,其是个多值函数,每两个值相差的整数倍.称为的主值.3.1.2 对数函数的性质性质11: 当,其无穷多个单值连续解析分支为.即（,）.0和是此对数函数的支点,负实轴是支割线.性质21
12、:通常把()称为对数函数的主值支.性质31:各支的导数为 （）.性质41:对数函数的基本性质 .3.1.3 对数函数的应用例11求方程 的解集.解 记作.而,.故解集为 . （,）.分析此题应用对数函数性质解方程.例2 5分析在领域内函数是否可以展成罗朗级数.解 函数支点是.应作剖线.当时,在内可以分解成单值连续分支,可知每一分支在内解析的,所以函数在领域内可以展成罗朗级数.例310 当时函数的奇点类型.解 .当时，为函数可去奇点;当时,为函数的一阶极点.3.2 幂函数3.2.1 幂函数的定义定义62：设是一复常数，则定义的()次幂函数为,（）.当为正实数,且时,规定;当不为正实数,且时,没有
13、定义.3.2.2 幂函数的性质性质12:多值性,当时,幂函数是区域上的多值函数. 性质22:当是非零整数时, 性质32:当,时,. 性质42:当（是正整数）时,是一个值函数. 性质52:当（,是互素的整数，）是有理数时, .由于互素,所以不难看出当取0,1,时得到个不同值，即这时幂函数是一个值函数.性质62 :当是无理数或虚数时,幂函数是无穷多值函数.事实上，当是无理数时有, 当取0,时得到无穷个不同的值,即这时幂函数是一个无穷多值函数.当,时有 ,.当取0,1,时得到无穷个不同的值，即这时幂函数是一个无穷多值函数.性质72:幂函数在任何沿连接0与的简单曲线剪开所得区域内可分解出若干单值解析分
14、支.3.2.3 幂函数的应用例15讨论函数 点处的留数.解 的单值解析分支为.().其中,当时,当时, .因为为函数的一阶极点,所以例2 2设确定在从原点起沿负实轴剪开平面所得的区域上且,求之值.解 在上，的三个单值解析分支为 , 其中 .(1)由已知条件确定,当时, ,于是由 , .得,所以所求的单值解析分支为,其中 . （2）求之值.当时,.于是 .例38计算解析 运用幂的定义式来解,很复杂,用公式更简便. 解 .3.3 反三角函数3.3.1 反三角函数的定义定义72:由方程所定义的函数称为的反正弦函数,记作.(2)由方程所定义的函数称为的反余弦函数,记作. (3)由方程所定义的函数称为的反正切函数,记作. (4)由方程所定义的函数称为的反余切函数,记作.3.3.2 反三角函数的性质性质4: ,.3.3.3 反三角函数的应用例11 若,求方程的解.解 ,例29解