1、考纲导读第十三章空间向量1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的根本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式知识网络高考导航理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时 空间向量及其运算根底过关空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个
2、向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法那么： (4) 向量减法法那么： (5) 数乘向量法那么： 2线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律：(ab) 3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab等价于存在实数，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行
3、于非零向量a，那么对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，那么向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P 共面向量定理的推论： 5空间向量根本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量根本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 空间向量根本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 6空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向
4、量的数量积：空间中任意两个向量a、b，那么ab 空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b ； (b) a2 ；(c) ab (4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律ab ； (b) 分配律a(bc) 典型例题例1正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，假设，求xy的值.解：易求得变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，假设a，b，c，那么以下向量中与相等的向量是( )A-abc Babc ABCDA1C1B1Ca-bcD-a-bc解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明：记那么,
5、共面.B1平面C1BD, AB1/平面C1BD.变式训练2：正方体ABCDEFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AMEN(1) 求证：MN平面FC； (2) 求证：MNAB； (3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1) 设(2) (3) 设正方体的边长为a,也即，例3. 四面体ABCD中，ABCD，ACBD， G、H分别是ABC和ACD的重心求证：(1) ADBC； (2) GHBD证明：(1) ADBC因为ABCD，而所以ADBC(2) 设E、F各为BC和CD的中点欲证GHBD，只需证GHEF，() 变式训练3：平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点求证：E
6、、F、G、H四点共面解：，所以共面，即点E、F、G、H共面例4. 如图，平行六面体AC1中，AE3EA1，AFFD，AG，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值DFAGBB1C1D1A1CEP解：设又E、F、G、P四点共面， APPC1316变式训练4：空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，假设ABOC，求证证明：法一：故法二：()()0小结归纳1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用abab0进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是
7、找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法那么，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的向量表示出来，从而求得结果3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角那么可以利用公式cos 4异面直线间的距离的向量求法：异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，那么.5设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，那么点P到平面的距离是d.第2课时 空间向量的坐标运算根底过关设a，b(1) ab (2) a (3)
8、ab (4) ab ；ab (5) 设那么 ， AB的中点M的坐标为 典型例题例1. 假设(1,5,1)，(2,3,5)1假设(k+)(3)，求实数k的值；2假设(k+)(3)，求实数k的值；3假设取得最小值，求实数k的值解：(1)；(2)； (3)变式训练1. 为原点，向量，求解：设，即解此方程组，得。，。例2. 如图，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点(1) 求BM的长； (2) 求的值； xyzB1C1A1CBAMN(3) 求证：解：以C为原点建立空间直角坐标系.(1) 依题意得B0，1，0，M1，0，1.(2) 依题意得A11，0，2，B0，1，0，C
9、0，0，0，B10，1，2.(3) 证明：依题意得C10，0，2，N. 变式训练2. 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离ABCPED解：(1) 建立空间直角坐标系ABDP，那么A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，那么(x, , 1z)，由于NE平面PAC，
10、 即，即点N的坐标为(, 0, 1)，从而N到AB、AP的距离分别为1，.(2) 设N到平面PAC的距离为d，那么d.CDBAPE例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1(1) 证明 平面；(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论解：1证明略；2易解得；3解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点F是棱上的点，其中，那么令得解得，即时，亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，平面ZADGEFCBxy例4
11、. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求和点G的坐标；(2) 求GE与平面ABCD所成的角；(3) 求点C到截面AEFG的距离解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) 又，设G(0，0，z)，那么(1，0，z)(1，0，1) z1 G(0，0，1)(2)平面ABCD的法向量，设GE与平面ABCD成角为，那么(3)设面AEFG，(x0，y0，z0)，而(1，0，1)，(0，4，3)取z04，那么(4，3，4)即点C到截面AEFG的距离为变式训练4. 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；PAGBCDFE(2)求点D到平面PBG的距离；(3)假设F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)， (0，2，4)。，GE与PC所成的余弦值为 (2)平面PBG的单位法向量n(0，1，0) ，点D到平面PBG的距离为n |. (3)设