1、傅里叶变换和拉普拉斯变换地性质及应用实用标准文档文案大全 1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比方对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比方乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A 函数类的函数转化属于B 函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。 Pierre Sim
2、on Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些根本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品概率分析理论之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside 奥利弗亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯
3、变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续开展也是得益于算理理论的更进一步开展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）假设在（-，+）上，函数f (t )满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面f (t )满足狄利克雷条件； 实用标准文档文案大全（2）|f(t)|+dt那么f(t)的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t处12(f()+eid)+e id=f(t)在它的间断点t处12(f()+eid)+e id=f(t+0)+f(t0)2定义1.2.
4、1（傅里叶变换）设函数f(t)满足定理 1.2.1中的条件，那么称eit+f(t)dt 为f(t)的傅里叶变换，记作()eit+f(t)dt。定义1.2.2（傅里叶级数）设函数f(t)的周期为T，那么它的傅里叶级数为：f T(t)=a02+ (a n cost+b n sint)+n=1上式中，=2Ta0=f T(t)T2T2dta n=2T+f T(t)cos nT2T2tdt (n=1,2,3,)b n=2T+f T(t)sin nT2T2tdt (n=1,2,3,)定义1.2.3（傅里叶逆变换）f(t)=12eit+F()d定义1.2.4（拉普拉斯变换）假设函数f(t)满足est+ f(
5、t)dt积分收敛，那么该积分记作(s)=f(t)=est+ f(t)dt 实用标准文档文案大全式中s为复数，est为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）f(t)称为F(s)的拉普拉斯逆变换f(t)-1f(t)定义1.2.6（卷积）假设1(t)和2(t)是（-，+）上面有定义的函数，那么+1() 2(t-)d称为1(t)和2(t)的卷积，记为1(t)x2(t)1(t)x2(t)+1() 2(t-)d2.傅里叶变换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质性质2.1.1（线性性质）设，为常数，1()=1(t)，2()=2(t)那么：1(t)+2(t)=1()+2()11()+2
6、()=1(t)+2(t)性质2.1.2（位移性质）设f(t)()，那么f(tt0)=ejt0f(t)1f(0)=ej0tf(t)性质2.1.3（微分性质）设()f(t)，f(t)在(,)连续或可去间断点仅有有限个，且lim|t|+f(t)=0，那么：f(t)=iF()。f n(t)=(i)n F()。 实用标准文档文案大全证明由傅里叶变换的定义有f(t)=f(t)eit dt+=eit df(t)+=f(t)eit|+if(t)eit dt+=iF()性质2.1.4（积分性质）设f(t)=()，假设，limt+f(t)dtt=0那么：f(t)dtt=()i证明因为f(t)dtt=f(t)，故由
7、微分性质得()=(j)f(t)dtt，即f(t)dtt=()i定理2.1.1（卷积定理）如果F1()=f1(t)，F2()=f2(t)，那么有：f1(t)f2(t)=F1()F2()1F1()F2()=2f1(t)f2(t)证明 实用标准文档文案大全f1(t)f2(t)=f1(t)f2(t)eit dt+=f1()f2(t)d+eit dt=f1()d+f2(t)+eit dt=f1()eif2(t)ei(t)d(t)+d=F2()+f1()eit d=F1()F2()性质2.1.6（Parseval恒等式）如果有F()f(t)，那么有|f(t)|2+dt=12|F()|2+d这个式子又叫做P
8、arseval等式。2.2 函数及其傅里叶变换定义2.2.1（函数）满足：（1）(t)=0， t0，t=0，（2）(t)dt=1+的函数是函数。定义2.2.2（(tt0)函数）满足：（1）(tt0)=0， tt0，t=t0， 实用标准文档文案大全（2）(tt0)dt=1+的函数是(tt0)函数。定义2.2.3（函数的数学语言表述）(t)=1， 0t，0，其他，0时，(t)的极限叫做函数，记作(t)lim0(t)定义2.2.4（(tt0)函数的数学语言表述）(tt0)=1， t0tt0+，0，其他，0时，(tt0)的极限叫做(tt0)函数，记作(tt0)lim0(tt0)性质2.2.1（函数的筛
9、选性质）对任意连续函数f(t)，有(t)f(t)dt=f(0)+(tt0)f(t)dt=f(t0)+性质2.2.2（函数的相似性质）设a为实常数，那么：(at)=1|a|(t)（a0）定义2.2.5（单位阶跃函数）函数是单位阶跃函数在t0时的导数(t)=u(t)这里u(t)=1 t0t称为单位阶跃函数。 实用标准文档文案大全性质2.2.3（函数的傅里叶变换）因为(t)=(t)eit dt=eit+|t=0=1(tt0)=(tt0)eit dt=eit+|t=t =eit0所以(t)1 ,1， (tt0)1 ,eit0即(t)和1，(tt0)和eit0分别构成了傅里叶变换对。2.3傅里叶变换的应
10、用2.3.1求微分积分方程依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，以下图是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。例2.3.1求积分方程g()sintd=f(t)+ 的解g()，其中 实用标准文档文案大全f(t)=2sin t， 00， t解该积分方程可改写为2g()sintd=2f(t)+ 2f(t)为的傅里叶正弦逆变换，故有：g()=2g()sintd=sintsintdt + =1cos(1)tcos(1+)tdt=sin2 例2.3.
11、2求积分方程g(t)=(t)+f()+g(t)d，其中f(t)，(t)是函数，而且f(t)，g(t)，(t)的傅里叶变换存在。解设g(t)=G()，(t)=H()。由定义1.2.6（卷积）可知，方程右端第二项=f(t)g(t)。故对方程两边取傅里叶变换，根据卷积定理可得：G()=H()+F()G()，所以G()=H()1F()。由傅里叶逆变换，求出原方程的解：g(t)=12G()ejt+d=12H()1F()ejt+d例2.3.3求微分积分方程 实用标准文档文案大全ax(t)+bx(t)+cx(t)dtt=(t)的解，其中x(t)=X()，(t)=H()对原方程两边取傅里叶变换：ajX()+bX()+cjX()=H(),X()=H()b+j(ac).而上式的傅里叶逆变换为x(t)=12X()e jt+d=12H()b+j(ac)e jt+d2.3.2解偏微分方程例2.3.4（一维波动方程的初值问题）用傅里叶变换求定解问题：2ut2=2ux2，0u|t=0=cosx，ut|t=0=sinx，解由于未知函数u(x,t)