1、第四节 垂直关系A组1(2023年宁波十校联考)设b、c表示两条直线,表示两个平面,那么以下命题是真命题的是_假设b,c,那么bc假设b,bc,那么c假设c,那么c 假设c,c,那么解析:中,b,c亦可能异面;中,也可能是c;中,c与的关系还可能是斜交、平行或c;中,由面面垂直的判定定理可知正确答案:2(2023年青岛质检)直线l平面,直线m平面,下面有三个命题:lm;lm;lm.那么真命题的个数为_解析:对于,由直线l平面,得l,又直线m平面,故lm,故正确;对于,由条件不一定得到lm,还有l与m垂直和异面的情况,故错误;对于,显然正确故正确命题的个数为2.答案:2个3(2023年高考山东卷
2、改编)、表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,那么“ 是“m 的_条件解析:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,m,那么,反过来那么不一定所以“是“m的必要不充分条件答案:必要不充分4(2023年高考浙江卷)如图,在长方形ABCD中,AB2,BC1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足设AKt,那么t的取值范围是_解析:如图,过D作DGAF,垂足为G,连结GK,平面ABD平面ABC,又DKAB,DK平面ABC,DKAF.AF平面DKG,AFGK.容易得到,当F接近E点时,K接
3、近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点t的取值范围是(,1)答案:(,1)5(原创题)a、b为两条不同的直线,、为两个不同的平面,且a,b,那么以下命题中假命题的有_假设ab,那么;假设,那么ab;假设a、b相交,那么、相交;假设、相交,那么a,b相交解析:假设、相交,那么a、b既可以是相交直线,也可以是异面直线答案:6(2023年高考山东卷)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB4,BCCD2,AA12,E,E1分别是棱AD,AA1的中点(1)设F是棱AB的中点,证明:直线EE1平面FCC1;(2)证明:平面D1AC平面BB1C1C.证
4、明:(1)法一:取A1B1的中点为F1,连结FF1,C1F1.由于FF1BB1CC1,所以F1平面FCC1.因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D,F1C,由于A1F1綊D1C1綊CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1DF1C.又EE1A1D,得EE1F1C.而EE1平面FCC1,F1C平面FCC1,故EE1平面FCC1.法二:因为F为AB的中点,CD2,AB4,ABCD,所以CD綊AF,因此四边形AFCD为平行四边形,所以ADFC.又CC1DD1,FCCC1C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,ADDD1D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1.所以平面AD
5、D1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1,所以EE1平面FCC1.(2)连结AC,在FBC中,FCBCFB,又F为AB的中点,所以AFFCFB.因此ACB90,即ACBC.又ACCC1,且CC1BCC,所以AC平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC平面BB1C1C.B组1设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,那么能得出ab的是_a,b, a,b,a,b, a,b,解析:由,b b,又a,故ab.答案:2设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,那么以下命题正确的选项是_假设m,n,mn,那么假设n,n,m,那么m假设m,n,mn,那么假设,n,mn,那么m解析:由n,
6、n可得,又因m,所以m.答案:3设m,n是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,那么以下命题正确的选项是m,n,mn ,m,n mn,m,n mn ,m,nmn解析:错,不符合面面垂直的判断定理的条件;由空间想象易知命题正确;错,两直线可平行;错,由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面内时命题才成立答案:4两条不同的直线m,n,两个不同的平面,那么以下命题中正确的选项是_假设m,n,那么mn假设m,n,那么mn假设m,n,那么mn假设m,n,那么mn解析:易知正确而中且mm或m,又n,容易知道m,n的位置关系不定,因此错误而中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定,因此错误而中因为不对,
7、此项也不对综上可知正确答案:5设a,b,c表示三条直线,表示两个平面,那么以下命题的逆命题不成立的是_c,假设c,那么b,c是a在内的射影,假设bc,那么abb,假设b,那么b,c,假设c,那么bc解析:当b,假设,那么未必有b.答案:6二面角l的大小为30,m、n为异面直线,m平面,n平面,那么m、n所成的角为_解析:m,n,m、n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为30,异面直线m、n所成的角为30.答案:307如下列图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,那么C1在底面ABC上的射影H必在直线_上解析:由ACAB,ACBC1,AC平面ABC1,AC平面AB
8、C,平面ABC1平面ABC,C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上答案:AB8(2023年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中,AB3,AD4,P在AD上运动,设ABP,将ABP沿BP折起,使得平面ABP垂直于平面BPDC,AC长最小时的值为_解析:过A作AHBP于H,连CH,AH平面BCDP.在RtABH中,AH3sin,BH3cos.在BHC中,CH2(3cos)242243coscos(90),在RtACH中,AC22512sin2,45时,AC长最小答案:459在正四棱锥PABCD中,PAAB,M是BC的中点,G是PAD的重心,那么在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_条
9、解析:设正四棱锥的底面边长为a,那么侧棱长为a.由PMBC,PMa,连结PG并延长与AD相交于N点,那么PNa,MNABa,PM2PN2MN2,PMPN,又PMAD,PM面PAD,在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直答案:无数10如图,在三棱锥SABC中,OAOB,O为BC中点,SO平面ABC,E为SC中点,F为AB中点(1)求证:OE平面SAB;(2)求证:平面SOF平面SAB.证明:(1)取AC的中点G,连结OG,EG,OGAB,EGAS,EGOGG,SAABA,平面EGO平面SAB,OE平面OEGOE平面SAB(2)SO平面ABC,SOOB,SOOA,又OAOB,SA2SO2
10、OA2,SB2SO2OB2,SASB,又F为AB中点,SFAB,SOAB,SFSOS,AB平面SOF,AB平面SAB,平面SOF平面SAB.11在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点(1)求证:CE平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F平面CEF.证明:(1)取CC1的中点G,连结B1G交C1F于点F1,连结E1F1,A1G,FG,F是BB1的中点,BCC1B1是矩形,四边形FGC1B1也是矩形,FC1与B1G相互平分,即F1是B1G的中点又E1是A1B1的中点,A1GE1F1.又在长方体中,AA1綊CC1,E,G分别为A
11、A1,CC1的中点,A1E綊CG,四边形A1ECG是平行四边形,A1GCE,E1F1CE.CE平面C1E1F,E1F1平面C1E1F,CE平面C1E1F.(2)长方形BCC1B1中,BB12BC,F是BB1的中点,BCF、B1C1F都是等腰直角三角形,BFCB1FC145,CFC1180454590,C1FCF.E,F分别是矩形ABB1A1的边AA1,BB1的中点,EFAB.又AB平面BCC1B1,又C1F平面BCC1B1,ABC1F,EFC1F.又CFEFF,C1F平面CEF.C1F平面C1E1F,平面C1E1F平面CEF.12(2023年江苏淮安模拟)如图,空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点求证:(1)AB平面CDE;(2)平面CDE平面ABC;(3)假设G为ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF平面CDE.证明:(1)CEAB,同理,DEAB,又CEDEE,AB平面CDE.(2)由(1)知AB平面CDE,又AB平面ABC,平面CDE平面ABC.(3)连结AG并延长交CD于H,连结EH,那么,在AE上取点F使得,那么GFEH,