1、考纲导读第十五章推理与证明一合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。二直接证明与间接证明1了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2了解间接证明的一种根本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。三数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题高考导航1推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2推理与证明与数列、几何、等有关内容综合
2、在一起的综合试题多。第1课时 合情推理与演绎推理根底过关1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 .类比推理：根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 .3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法那么得到的 推理过程；三段论常用格式为：M是P， ，S是P；其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实
3、和正确的结论包括定义、公理、定理等、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法那么得到的新结论的推理过程典型例题例1. ：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_= x 并给出 x 式的证明解：一般形式: 证明：左边 = = = = = 将一般形式写成 等均正确。变式训练1：设，nN，那么 解：，由归纳推理可知其周期是4例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么
4、截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：。变式训练2：在ABC中，假设C=90，AC=b,BC=a，那么ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：此题是“由平面向空间类比。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，那么此三棱锥的外接球的半径是。例3. 请你把不等式“假设是
5、正实数，那么有推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：假设 都是正数， 证明： 都是正数 ，变式训练3：观察式子：，那么可归纳出式子为 A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线平面，直线平面，直线平面，那么直线直线的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直
6、且平分根底过关第2课时 直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种根本方法分析法和综合法 综合法 ；分析法 ； 2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法归谬法.典型例题例1假设均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：用反证法假设都不大于0，即，那么有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。那么
7、假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个的否认是“最多有n-1个。例2. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命题得证。变式训练2：用分析法证明：假设a0，那么。答案：证明：要证，只需证。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。例3数列，记求证：当时，1；2；3。解：1证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立2证明：由，得因为，所
8、以由及得，所以3证明：由，得所以，于是，故当时，又因为，所以推理与证明章节测试题1.考察以下一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，那么推广的不等式可以是 .2 数列满足，那么的值为 ， 的值为 3. ，猜测的表达式为 A.； B.； C.； D.4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名，编号分别为1、2、3、，有台织布机，编号分别为1、2、3、，定义记号：假设第名工人操作了第号织布机，规定，否那么，那么等式的实际意义是 A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作
9、了台织布机.5. ，计算得，由此推测：当时，有 6. 观察以以下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式 7. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，那么可得出一般结论： .8.函数由下表定义：假设，那么 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后
10、每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;那么前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)图1图2图3图410.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2023应该在第 行，第 列。11 如右上图，一个小朋友按如以下图的规那么练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，一直数到2023时，对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为_13观察以下的图形中小正方形的个数，那
11、么第n个图中有 个小正方形.14同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案，那么按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块用含n的代数式表示15.如以下图，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，假设，那么.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,假设, 那么 ( B ) A. B. C. D. 16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，那么_ _，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，那么有_ _ 17在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，那
12、么，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，那么 18、假设数列是等差数列，对于，那么数列也是等差数列。类比上述性质，假设数列是各项都为正数的等比数列，对于，那么= 时，数列也是等比数列。19ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果bmmNx，那么这样的三角形共有 个用m表示20如图的三角形数阵中，满足：1第1行的数为1；2第nn2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加那么第n行(n2)中第2个数是_用n表示.21在ABC中，判断ABC的形状并证明.22a、b、c是互不相等的非零实数.假设用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2c
